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Qual è la soluzione?
...Se, come suggerito da J.M. Souriau, Dio, nella sua infinita saggezza, non avesse creato particelle di massa ed energia negative e non avesse impedito ai fisici di utilizzare elementi anticroni, la teoria non potrebbe trattare le simmetrie PT e CPT.
Presentiamo una soluzione alternativa in:
J.P. Petit e P. Midy: "Geometrizzazione della materia e dell'antimateria attraverso l'azione coadiacente di un gruppo sul suo spazio dei momenti. 4: Il gruppo gemello. Descrizione geometrica dell'antimateria di Dirac. Interpretazioni geometriche dell'antimateria dopo Feynman e il cosiddetto teorema CPT". Fisica Geometrica B, 4, 1998.
...Per evitare le collisioni tra particelle a energia positiva e negativa, dividiamo lo spazio di evoluzione in due pieghe, formando il quoziente del gruppo per il suo sottogruppo ortocrono. Otteniamo una geometria gemella.
Introduciamo un indice di piega f = ± 1
f = +1 corrisponde alla piega F
f = -1 corrisponde alla piega F*.
Il gruppo gemello è:
(400)
...È sempre un gruppo a otto componenti. Vediamo che gli elementi (m = -1), che corrispondono alla simmetria PT, vanno accompagnati da una permutazione di piega: f -----> -f
...Lo spazio dei momenti è ancora composto da quattro settori, ma i settori a energia negativa corrispondono ai movimenti di particelle nella piega F*.
(401)
Le simmetrie seguenti sono:
(402) Possiamo ora definire il nuovo "campo di gioco". (403)
Il campo di gioco: uno spazio a due pieghe (F e F) associato a uno spazio dei momenti a due settori (E > 0 e E < 0).*
(404)
Movimenti della materia ordinaria. Azione degli elementi ortocroni del gruppo, con l = 1. Cariche invariate.
Azione coadiacente di un elemento del gruppo (l = -1; m = 1) sul momento associato al movimento della materia normale: il nuovo movimento corrisponde all'antimateria di Dirac.
...Nella figura, la linea M1 rappresenta il movimento della materia ortocrona normale. Rappresentiamo linee rette perché il nostro gruppo non tiene conto dei campi di forza, come i campi gravitazionali o elettromagnetici. Modella solo il comportamento di particelle isolate, punti materiali carichi.
Scegliamo un elemento nella zona grigia, corrispondente a una matrice (l = -1; m = 1). Il valore (l = -1) cambia i segni di tutti i z i. Diventano negativi. Il nuovo percorso si trova nel secondo settore, corrispondente all'antimateria. Poiché l m = -1, le cariche sono invertite. Ma poiché il tempo non è invertito, energia e massa della particella rimangono positive.
Questa è una descrizione geometrica dell'antimateria (ortocrona) dopo Dirac.
...Dei due settori rimanenti, ne esaminiamo uno. Nel terzo settore, esaminiamo l'effetto di un elemento (l = -1; m = -1) sul momento e sul movimento.
(l = -1) inverte i {z i}. Secondo la nostra definizione geometrica, questo nuovo movimento corrisponde all'antimateria, poiché avviene nel secondo settore dello spazio {z1, z2, z3, z4, z5, z6, x, y, z, t}.
(m = -1) dà una simmetria PT, inverte i segni di (x, y, z, t)
Ma (l m = +1) lascia invariate le cariche.
Questa è l'antimateria "simmetrica PT", per cui si tratta di una descrizione geometrica dell'antimateria dopo Feynman.
Il movimento avviene nel secondo settore dello spazio, nella piega F*.
(406)
(l = -1; m = -1) elementi trasformano il movimento della materia normale in movimento di antimateria (simmetria z) di un oggetto simmetrico PT, che evolve al contrario nel tempo. Descrizione geometrica della visione di Feynman dell'antimateria. Non corrisponde completamente a quella di Dirac: massa negativa ed energia negativa.
Gli ultimi elementi corrispondono al settore (l = 1; m = -1)
(l = 1) ---> il movimento è ancora nel settore della materia:
nessuna simmetria z.
(m = -1) va accompagnato da una simmetria PT. La particella evolve al contrario nel tempo.
(l = -1): simmetria C. Le cariche sono invertite.
...Questa è materia simmetrica CPT, per cui corrisponde a un'interpretazione geometrica del cosiddetto "teorema CPT", che afferma che il simmetrico CPT di una particella dovrebbe essere identico a questa particella. Non è vero. Questo movimento corrisponde a un movimento anticrono. La particella evolve al contrario nel tempo, per cui (azione coadiacente) la sua massa e la sua energia diventano negative.
...Il movimento di una particella che è il simmetrico CPT di una particella normale avviene nella piega F*.
(407)
(l = 1; m = -1) caso. Corrisponde al simmetrico CPT. Ma l'azione coadiacente dà massa e energia negative. Il simmetrico CPT di una particella di materia è una particella di materia, ma con massa negativa.
Indice Teoria dei Gruppi Dinamici
Versione originale (inglese)
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What is the solution ?
...If, as suggested by J.M.Souriau, God, in his infinite wisdom, did not create negative mass and energy particles and prevent physicist to use antichron elements, the theory cannot deal with PT and CPT symmetries.
We present a alternative solution in :
J.P.Petit and P.Midy : "Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's anti-matter. Geometrical interpretations of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem". Geometrical Physics B, 4, 1998.
...In order to prevent collisions between positive an negative energy particles, we split the evolution space into two folds, which forms the quotient of the group by its orthochron sub-group. We get a twin geometry.
We introduce a fold indix f = ± 1
f = +1 corresponds to the fold F
f = - 1 corresponds to the fold F*.
The Twin-group is :
(400)
...It is still a eight components group. We see that ( m = - 1 ) elements, which correspond to PT-symmetry, go with a fold commutation : f -----> - f
...The momentum space is still composed by four sectors, but negative energy sectors corresponds to particle's movements in the F* fold.
(401)
The subsequent symetries are :
(402) We can now define the new "playing field". (403)
The playing field : a two folds ( F** and F*) space, associated to a two sectors momentum space** ( E > 0** and E < **0 ).
(404)
Movements of ordinary matter. Action of orthochron elements of the group, with l = 1. Charges unchanged.
**Coadjoint action of a ( **l = -1 ; m = 1 ) element of the group on the momentum associated to the movement of normal matter : the new movement corresponds to Dirac's anti-matter.
...On the figure, the line M1 figures the movement of normal, orthochron matter. We figure straight lines because our group does not take account of force field, like gravitational or electromagnetic field. It only runs the behaviour of lonely particles, charged mass-points.
We chose an element in the grey area, corresponding to a ( l = -1 ; m = 1 ) matrix. The ( l = - 1 ) value changes the signs of all the z i. They become negative. The new path is in the second sector, corresponding to anti-matter. As l m = - 1 the charges are reversed. But as time is not reversed, the energy and the mass of the particle remains positive.
*This is a geometric description of ( orthochron ) anti-matter after Dirac.
*
...Two more sectors has to be explored. On the third we examine the impact of ( l = - 1 ; m = - 1 ) element on the momentum and movement.
( l = - 1 ) reverses the {z i}. According to our geometric definition this new movement corresponds to anti-matter, for it takes place in the second sector of space { z 1,z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, x, y , z , t }.
( m = - 1 ) gives a PT-symmetry, reverses the signs of ( x, y , z , t )
But ( l m = + 1 ) keeps the charges unchanged.
This is "PT-symmetric anti-matter", so that it is a geometric description of anti-matter after Feynmann.
The movement takes place in the second space sector, in the fold F*.
(406)
( l = -1 ; m = -1 ) **elements transform movement of normal matter into movement of anti-matter **(z-Symmetry) of PT-symmetrical object, runing bacward in time. Geometric description of Feynmann's vision of anti-matter. Does not identify vompletely with Dirac's one : negative mass and negative energy.
The last elements correspond to the sector ( l= 1 ; m = -1 )
( l = 1 ) --- > the movement is still in the matter's sector :
no z-Symmetry.
( m = -1 ) goes with a PT-symmetry. The particule runs backward in time.
( l = -1 ) : C-Symmetry. The charges are reversed.
...This is CPT-symmetrical matter, so that it corresponds to a geometrical interpretation of the so-called "CPT theorem", which asserts that the CPT-symmetric of a particle should be identical to that particle. That's not true. This movement corresponds to an antichron movement. The particle goes backward in time, si that (coadjoint action) its mass and energy become* negative* .
...The movement of a particle which is the CPT-symmetrical of a normal particle takes place in the fold F*.
(407)
( l = 1 ; m = - 1 ) case. Corresponds to CPT-symmetry. But the coadjoint action gives negative mass and energy. The CPT-symmetric of a particle of matter is a particule of matter, but with negative mass.