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3 - Terzo assioma della
teoria dei gruppi:
Qualsiasi elemento del gruppo
deve possedere il proprio inverso, scritto g-1, definito da:
(15)
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Nel nostro esempio:
(16)
cioè: b
= - a oppure:
(17)
g-1
( a ) = g ( - a )
Qui il calcolo
della matrice inversa è banale.
Qual è la condizione
perché una data matrice quadrata possieda la propria inversa?
...A
qualsiasi matrice quadrata possiamo associare uno scalare chiamato determinante. Per
la definizione si veda qualsiasi libro dedicato al calcolo lineare. Questo determinante
è codificato: det ( g )
Inoltre abbiamo un
teorema generale:
det (g1
x g2)
= det (g1 )
x det (g1 )
Il determinante di una
matrice diagonale è:
(18)
Di conseguenza:
det ( 1 ) = 1
poiché 1 è una matrice diagonale.
Dalla definizione dell'
inversa di una matrice:
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Allora:
(19)
det ( g
x g-1 ) = det (g)
x det (g-1 ) = 1
...Se
det (g) = 0 la condizione (19) non può essere soddisfatta. Gli insiemi di matrici
i cui elementi peculiari possiedono determinante nullo non soddisfano il terzo assioma,
e non possono formare un gruppo.
A proposito:
(20)
4 - Quarto assioma
della teoria dei gruppi:
La moltiplicazione deve
essere associativa, cioè: .
(21)
( g1
x g2
) x g3
=g1
x ( g2
x g3 )
La moltiplicazione di matrici
è fondamentalmente associativa.
Dimensione di un gruppo
:
...Come
vedremo, un gruppo può agire su uno spazio i cui punti sono descritti da vettori colonna.
Per esempio punti dello spazio-tempo (chiamati "eventi"):
(22)
...Questo
è uno spazio a quattro dimensioni. Gruppi diversi possono agire su di esso. Ma la dimensione
di un gruppo non ha nulla a che fare con la dimensione dello spazio su cui agisce.
La dimensione di
un gruppo (di matrici) è il numero
di parametri che
definiscono queste matrici quadrate.
Abbiamo dato un esempio
di matrici, definite da un singolo parametro
a
Così che la dimensione
di questo gruppo è uno.
Si noti che:
(22-bis)
Osservazione:
Non tutti i gruppi di matrici
sono commutativi, sebbene il gruppo che abbiamo studiato possieda questa proprietà
:
(23)
Se un tale gruppo agisce su un
vettore colonna, corrispondente a uno spazio 2d:
(23 bis)
esso corrisponde a una rotazione attorno a un punto fisso, in un piano:
(23 ter)
Questa operazione è ovviamente
commutativa.
Tenderete a dire
: "come tutti i gruppi di rotazioni".
...Vi
sbagliate. Considerate le rotazioni attorno ad assi passanti per un dato punto O. Combinate
due rotazioni successive, attorno ad assi differenti. Questo non è commutativo.
Esercizio: mostrare che, usando un sistema di assi ortogonali (OX, OY, OZ), le rotazioni
combinate attorno a questi assi non costituiscono un'operazione commutativa.. Prendete un qualsiasi oggetto.
- Fate una rotazione di +90°
attorno a OX, poi una rotazione di +90° attorno a OZ
Tornate alle condizioni iniziali
e:
- Fate una rotazione di +90°
attorno a OZ, poi una rotazione di +90° attorno a OX
Confrontate i risultati.
Azione del gruppo.
...Un
gruppo G è composto da matrici quadrate g. Esse possono essere moltiplicate.
Diremo che un gruppo può agire su se stesso.
Il gruppo può anche agire su uno spazio, fatto di punti, descritti da vettori colonna.
Esempio:
(24)
Se scriviamo:
(25)
l'azione del gruppo
su questo spazio diventa:
(26)
g
x r
...In
questo caso peculiare l'azione sullo spazio si identifica con la semplice moltiplicazione di matrici.
Ma il concetto di azione è molto più generale.
