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Una parentesi: orientamento dello spazio-tempo.
**...**Nel mondo bidimensionale assimilavamo gli oggetti geometrici a lettere. Nel mondo tridimensionale venivano assimilati a "mano destra" e "mano sinistra".
Le strutture quadridimensionali venivano assimilate a ologrammi animati.
**...**Che diavolo potrebbe essere una struttura pentadimensionale, o una deca-dimensionale? A volte invidio Dio, e voi?
**...**Deve ridere, guardando le nostre miserabili strutture quadridimensionali.
**...**Ma un fisico teorico, e persino un matematico, non sono altro che strutture quadridimensionali orientate. Se non lo fossero, non potrebbero distinguere il passato dal futuro, e la destra dalla sinistra.
**...**L'universo, nel suo insieme, è una struttura quadridimensionale. Pensiamolo come un oggetto chiuso, con topologia localmente sferica. Chiamiamo t il tempo. A un dato tempo possiamo fare un taglio, che è un'ipersuperficie tridimensionale. Se quest'ultima è un'ipersfera S3, il tempo ha senso. Il vettore tempo attraversa questa ipersuperficie e non otteniamo alcuna situazione paradossale.
**...**Riduciamo il numero di dimensioni. Immaginiamo un mondo bidimensionale chiuso, una sorta di spazio-tempo (x,y,t).
**...**Possiamo tagliarlo a t = costante, e otteniamo allora un oggetto geometrico la cui dimensione è 3 - 1 = 2: una superficie bidimensionale. In ogni punto il vettore normale orientato rappresenta la freccia del tempo.
Se questo spazio-tempo può essere orientato nel tempo (supponiamo che sia chiuso) a un dato tempo, lo spazio è una sfera S2:
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**...**Ma supponiamo che la superficie che rappresenta lo spazio sia a una sola faccia. Prendiamo come esempio una superficie di Boy (che è una superficie chiusa a una sola faccia. Si veda la sezione "Matematica" del sito).
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Se ne può costruire una semplicemente incollando insieme nastri di Möbius. Ne mostro uno:
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Sapete che non si può definire un vettore normale orientato:
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**...**Il rivestimento doppio di una superficie di Boy è una sfera S2. Se assimiliamo il nostro spazio-tempo tridimensionale a un insieme di sfere S2, disposte come matrioske, ciascuna corrispondente a un dato valore di un tempo cosmico t, possiamo pensare (a fatica) a una sorta di spazio-tempo in cui i punti antipodali potrebbero essere messi insieme. Era la struttura topologica suggerita nell'articolo:
Jean-Pierre Petit: "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, luglio 1994, pp. 697-710.
**...**Allora sappiamo che i punti antipodali, situati su un "equatore" di una sfera, possono essere disposti come il rivestimento doppio di un nastro di Möbius:
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Vediamo come questo coniuga regioni antipodali dello spazio con frecce del tempo opposte.
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**...**A proposito, vediamo come coniugherebbe oggetti enantiomorfi.
**...**Lo spazio è un'ipersuperficie quadridimensionale. Se possiamo definire un tempo cosmico t, possiamo fare tagli a t = costante e questi tagli sono spazi tridimensionali. Se lo spazio è chiuso, potremmo assimilarlo a una sfera S3, che può essere modellata come il rivestimento doppio di uno spazio proiettivo P3 (l'equivalente di una superficie di Boy, in 3d). Questa operazione metterebbe in interazione regioni con frecce del tempo opposte.
