I gruppi di Galileo (gruppo orientato nello spazio-tempo e completo).
Possiamo suggerire nomi diversi per questo gruppo.
GGSOTO (Galileo spazio orientato e tempo orientato)
oppure:
GSG (Gruppo speciale di Galileo).
O, semplicemente:
SG(3,1): Gruppo speciale di Galileo.
3 dimensioni di spazio, 1 per il tempo. Ricordiamo che abbiamo scritto l'azione del gruppo PT come segue:
(158)
Poi siamo passati a un gruppo orientato nello spazio e nel tempo. Potremmo similmente scrivere l'azione di un tale gruppo:
(159)
Questo è un sottogruppo di uno più raffinato:
(160)
Il "gruppo di Galileo orientato nello spazio e nel tempo". Con:
(161)
L'azione corrispondente è:
(162)
Questo è un gruppo a una componente (connesso). È un sottogruppo del gruppo completo di Galileo a quattro componenti:
(163)
che governa le simmetrie P, T e PT:
(164)
e sorge anche il problema degli oggetti antìcroni (come sarà fatto più avanti, ma su basi relativistiche).
Movimenti.
Gli oggetti geometrici quadridimensionali sono "ologrammi animati". Nella struttura quadridimensionale possiamo fare tagli, a tempi successivi. Ogni taglio è un oggetto tridimensionale, fatto di punti
(xi,yi,zi).
È più semplice se consideriamo un oggetto puntiforme che si muove nello spazio-tempo. Allora la struttura spazio-temporale considerata diventa un percorso, un movimento.
...Decidiamo di assimilare le particelle della fisica a movimenti di punti. O saranno dei "punti materiali", o energia puntuale (fotoni, neutrini).
...Possiamo considerare tutti i possibili movimenti di tutte le possibili particelle e includerli in uno
(165)
spazio dei movimenti.
...Nello spazio-tempo possiamo trovare tutti i possibili percorsi di fotoni, protoni, neutroni, neutrini, antiprotoni, e così via. Consideriamo un numero infinito di possibili posizioni, velocità e altri parametri, da scoprire. Tra questa infinità di percorsi ci sono i percorsi riferentisi a una data particella: un elettrone, per esempio. Altri percorsi si riferiscono al fotone. Sono differenti. Formano due famiglie distinte, due
distinte specie di movimenti.
Cerchiamo come classificare le particelle. Poi cerchiamo come definire le specie di movimenti.
Useremo un metodo simile a quello di Euclide. La domanda centrale è:
Quali "oggetti" appartengono alla stessa specie?
...Risposta: quelli che possono essere posti uno sull'altro attraverso l'azione di elementi di un gruppo che appartengono a un sottogruppo chiamato la regolarità di tali oggetti.
...Nel mondo di Euclide non puoi trasformare una sfera in un cubo, e viceversa. Appartengono a specie distinte. Non c'è sottogruppo che renda possibile trasformare sfere in cubi, e viceversa.
...Similmente, in un certo gruppo, da definirsi, non c'è elemento, appartenente a un certo sottogruppo, che renda possibile trasformare il movimento di un fotone nel movimento di un elettrone. Sono fondamentalmente differenti, appartengono a specie distinte.
Se c'è un elemento del gruppo la cui azione trasforma un movimento in un altro movimento, allora questi movimenti si riferiscono a una stessa specie. Sono due movimenti differenti di una stessa particella.
...Non ci occuperemo di sistemi a molte particelle, come atomi, molecole. Ci concentreremo sull'analisi di particelle libere, che viaggiano in uno spazio vuoto. Allora, durante questo viaggio, un certo numero di parametri sono conservati (massa, energia, altri...)
Ma il semplice esame del percorso spazio-temporale di una particella non basta a identificarla e a porla in una specie definita.
-
Un protone e un neutrone possono viaggiare lungo lo stesso percorso, alla stessa velocità.
-
Due particelle possono seguire lo stesso percorso, a v = c, ma una può essere un fotone e l'altra un neutrino.
-
Come vedremo più avanti, due fotoni che seguono lo stesso percorso, nella stessa direzione, alla velocità della luce, possono essere differenti. Sono P-simmetrici.
-
Uno possiede un'elicità destra.
-
L'altro un'elicità sinistra.
Questo corrisponde alla polarizzazione della luce. Appartengono a specie distinte? Dipende dal gruppo che scegliamo.
Una specie è relativa a un dato gruppo.
La quantità di moto.
...Un movimento è una scelta peculiare, un punto nello spazio delle quantità di moto. Consideriamo movimenti di specie la cui unica differenza è la massa. Prendiamo due specie. Una particella la cui massa è ma non può essere convertita in una particella la cui massa è mb. Anche se le loro traiettorie possono essere identiche nello spazio-tempo, consideriamo che sono movimenti differenti di due specie distinte o:
due distinte specie di movimenti.
(166)
La quantità di moto è un insieme di parametri:
J = { J1 , J2 , J3 , ........, Jn }
Uno è l'Energia
J1 = E .
Tre altri:
( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
formano il vettore impulso p, tutte quantità familiari ai fisici.
...Queste quantità possono sorgere come pure quantità geometriche, direttamente legate al gruppo scelto. Vedrai più avanti che il numero di quantità che forma la quantità di moto è uguale alla dimensione del gruppo.
...Allora quali sono le regole del gioco a cui giocheremo?
