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Il progetto.
...Il nostro punto di partenza sarà un gruppo dinamico G, ovvero una famiglia di matrici quadrate g.
...Dinamico: perché il tempo è coinvolto.
...Questo gruppo ha una certa dimensione n. Può agire su uno spazio X, che ha una propria dimensione (la quale non ha nulla a che fare con la dimensione del gruppo, quest'ultima essendo il numero di parametri indipendenti che definiscono ciascuna matrice g dell'insieme, formando il gruppo G).
...Ora ci serve un'azione, per definire uno spazio su cui il gruppo agisce, il suo spazio dei momenti. Questo spazio non è lo spazio-tempo in cui si suppone viaggino le particelle. Costruire tale spazio ci porterà in un paese strano, che sembrerà una terra schizofrenica. Ma se seguirete questa strada, sarete più vicini alla realtà fisica di quanto siate mai stati prima.
...Quando avremo uno spazio con cui giocare e un'azione su cui agire, classificheremo i momenti-movimenti in specie e identificheremo tali specie con le particelle elementari.
...Sopra abbiamo detto che il prodotto di un gruppo per un vettore, corrispondente a SO(2) e O(2), così come SO(3) e O(3), corrispondeva a un'azione:
g x r
cioè:
(166b)
Notiamo che potremmo scriverla nel modo equivalente:
(167)
Per il gruppo euclideo orientato e per il gruppo euclideo completo dobbiamo scrivere un'azione:
(168)
Ma queste azioni, così come le corrispondenti azioni dei gruppi dinamici sullo spazio, come:
(169)
non danno... nulla. Trasportano semplicemente oggetti nello spazio, nello spazio-tempo, o in spazi più raffinati (spazio a 5 dimensioni, spazio a dieci dimensioni).
Dobbiamo cercare qualcosa "nascosto sotto il gruppo": il suo spazio dei momenti (tutti i gruppi di matrici ne possiedono uno) e la sua
azione coaggiunta sul suo spazio dei momenti.
che corrisponde alla fisica reale.
Che cos'è la fisica?
...Buona domanda. Il matematico francese Jean-Marie Souriau ha inventato il concetto di azione coaggiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti e lo ha dimostrato, nei primi anni settanta. Nel seguito questo verrà sviluppato.
...Naturalmente, il fisico, alla fine del calcolo, chiederà:
Perché?
...In altri termini, funziona, ma possiamo dare un significato fisico a questo concetto di azione coaggiunta di un gruppo dinamico sul suo spazio dei momenti? La risposta sembra essere no.
...Immaginate di essere uno studente di Aristotele. Improvvisamente avete un'intuizione e inventate una nuova parola per nominarla:
inerzia.
...Arriva Aristotele. È stato avvertito da altri studenti che avete inventato qualcosa di nuovo, e chiede:
- Potresti spiegarci cosa significa inerzia?
Sarete incapaci di farlo, usando le parole di Aristotele. Avrete incontrato un cambiamento paradigmatico.
Saltate al Medioevo. Provate a spiegare una reazione chimica in termini di vocabolario dei quattro elementi. Impossibile anche questo...
L'azione coaggiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti è un cambiamento paradigmatico. È una nuova visione della fisica.
In effetti, i fisici maneggiano azioni di gruppo tutto il tempo quando parlano di "invarianza", "leggi di conservazione".
Un fisico convenzionale chiederà:
- Puoi spiegarmi qual è il significato dell'azione coaggiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti, in parole semplici, se possibile?
Rispondiamo:
-
Perché usate le leggi di conservazione, in fisica?
-
Ah... perché ci sono quantità conservative: energia, massa, carica elettrica...
-
Perché sono conservate?
-
Ma, è un principio fondamentale! ....
-
Mio caro amico, considerate l'azione coaggiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti come un principio fondamentale.
-
Cosa intendi?
-
Qualsiasi fisica si basa su una struttura di gruppo. Se identificate il gruppo, potete costruire la sua azione coaggiunta e il corrispondente spazio dei momenti. Allora le componenti del momento sono le corrispondenti quantità fisiche.
-
........
Attenzione. Se siete un fisico (anche un fisico teorico...) e leggete ciò che segue, subirete una mutazione paradigmatica. Dopo, la fisica sarà semplicemente... diversa.
Azioni.
Che cos'è un'azione?
Qualcosa legato a un gruppo, che obbedisce ai seguenti assiomi:
(170)
Naturalmente, per i gruppi di matrici, l'operazione di composizione è:
x
(moltiplicazione matriciale riga-colonna)
Per i gruppi di matrici possiamo scrivere:
(171)
Consideriamo il vettore colonna:
(172)
dove x, per esempio, rappresenta vettori
(173)
(174)
soddisfa gli assiomi dell'azione? Siano g e g' due elementi del gruppo G.
(175)
(175b)
Dobbiamo avere:
(176)
Ag ( Ag'(x)) = Ag"(x)
cioè:
(177)
sotto la proprietà di associatività:
(178)
g" = g x g'
è un'azione di gruppo.
...Notiamo che abbiamo messo l'elemento g del gruppo G a sinistra. Cosa succede se lo mettiamo a destra? Allora deve essere combinato con una matrice riga y.
(179)
Ag(y) = y x g
È un'azione?
