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Abbiamo bisogno di:
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
Ma:
Il prodotto di due matrici
non è commutativo, in generale. In conclusione:
(181)
Ag(y)
= y x g
non è un'azione di gruppo
: non soddisfa gli assiomi di cui sopra. Ma soddisfa un altro, corrispondente a
un'"anti-azione".
(182)
Per le matrici:
(183
Stiamo ancora cercando
azioni e anti-azioni. Dal vettore x possiamo costruire quello trasposto
e provare:
(184)
è un'azione
? Procediamo.
g" = g
x g'
(185)
(186)
Qui usiamo un teorema di calcolo lineare:
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
dove M e N
sono matrici (n,n) arbitrarie. Da cui:
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
e:
(189)
che è un'azione di
gruppo. Consideriamo
ora:
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
Mostriamo che è un'azione.
Considereremo le tre seguenti matrici.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
Abbiamo bisogno di:
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
Formiamo il primo membro:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
ovvero:
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
cioè:
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
È un'azione di gruppo.
La chiameremo, sulla scia di Souriau:
Azione aggiunta
:
(193)
Ora considereremo un'anti-azione del gruppo su una matrice m.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
Mostriamo che soddisfa:
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
Formiamo il primo membro:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
ovvero:
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
cioè:
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
ovvero:
(199)
g" -1
x
m x
g"
