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Occorrono:
Azioni duali.
Abbiamo costruito, sopra,
un'azione:
(200)
un'anti-azione:
(201)
La prima può riferirsi a
qualsiasi vettore colonna m:
(202)
m' = g xm
e la seconda a qualsiasi
vettore riga n:
(203)
n' = n
x g-1
m appartiene a un
certo spazio M
n appartiene a un altro
spazio N.
Si formi lo scalare:
(204)
S = n m
Si noti che:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...Diremo che le due azioni considerate sono duali. Analogamente i due spazi
M e N, a cui appartengono m e n, sono spazi duali:
N = M* oppure M = N*
Di solito diciamo che
se m è un vettore, n è il suo covettore.
Il prefisso co è tipico
della dualità. Come osservato da Souriau, la dualità esiste in politica e
aggiunge:
- La dualità era presente
nel marxismo-leninismo fin dall'inizio. Si pensi al munista e al
comunista.
Prendiamo un altro punto di vista. Supponiamo di avere un'azione e di voler costruire
la sua duale.
Schematicamente:
(206)
...Per
formare un prodotto scalare con il vettore colonna m, n
deve essere un vettore riga. Allora questi due vettori devono essere definiti dallo stesso
numero di scalari:
(207)
poi cerchiamo l'azione
duale:
(208)
n' = Ag(n)
affinché il prodotto scalare:
(209)
sia invariante. Dobbiamo avere:
(210)
n' m'
= n m
Abbiamo:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
la cui soluzione
è:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
Verso la costruzione dell'azione
essenziale, o azione coaggiunta di un gruppo sul suo momento (secondo
Souriau).
Cerchiamo un'azione del
gruppo sul suo "spazio dei momenti". La costruiremo come duale di
un'anti-azione:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...Nella
sezione precedente m era un vettore. Ma in (214) è una matrice.
Prenderemo una matrice, che dipende da un certo numero di parametri:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
Dobbiamo immaginare un insieme duale
di scalari:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
così che:
(215)
Schematicamente:
(216)
