Scelta della matrice
m .
...Un
gruppo G può essere paragonato a una certa superficie. Esso dipende da un certo numero
di parametri. Sia P questo spazio dei parametri del gruppo e
p un punto di questo spazio. Il numero di questi parametri pi
è la dimensione del gruppo.
(217)
Mostrato : l'elemento neutro e ( la matrice identità 1 ).
Possiamo dare un
incremento d p
:
(218)
...Poi
differenziamo la matrice g che è l'elemento del gruppo. Otteniamo
una matrice quadrata dg che
non appartiene al gruppo. La si chiama "vettore tangente al gruppo". Questi
vettori tangenti formano ciò che si chiama l'"Algebra di Lie" del gruppo ( che
non è un'algebra, tra l'altro ).
Abbiamo scelto di differenziare
in prossimità dell'elemento neutro :
(219)
e scegliamo la seguente
anti-azione :
(220)
AAg(m)
= g-1 x
dg(g=e) x
g
Osservazione :
Perché scegliamo il vettore tangente al gruppo in g = 1 ?
...Potremmo
usare un vettore tangente dg più generale, in un punto qualsiasi del gruppo. Otterremmo lo stesso risultato, ma il calcolo
sarebbe molto più noioso.
La dimensione del
gruppo è n. La matrice g dipende da n parametri{ pi
}..
L'elemento dell'Algebra
di Lie dg(g=e) dipende dallo
stesso numero di parametri {d pi
}.
Il calcolo della
suddetta anti-azione fornirà la mappatura :
(221)
{ d
pi
} -----> { d pp'i
}
Introduciamo lo stesso
numero di scalari :
{ J i }
Chiamiamo questo insieme il
momento J del gruppo.
J = { J i
}
È un insieme di n quantità,
n scalari. A volte possiamo metterlo in una matrice ( azione di Poincaré
sul suo momento ).
{ J i } è
il vettore cotangente { d p
i } al vettore tangente del gruppo. La dualità dà :
(222)
Da questa conservazione del prodotto scalare, se conosciamo la mappatura :
(223)
{ d
p
i } -----> { d p'
i }
possiamo costruire la mappatura
duale :
(224)
{ J i } ----->
{ J 'i }
Questa è l'azione essenziale
che cerchiamo, e Souriau la chiama azione coaggiunta del gruppo sul suo
spazio dei momenti.
Il modo migliore per illustrare
questo concetto è dare un esempio :
Azione coaggiunta del
gruppo di Poincaré sul suo spazio dei momenti Jp .
Sopra, abbiamo presentato il
gruppo di Lorentz generalizzato. Scegliendo :
(225)
otteniamo il gruppo di Lorentz
L il cui elemento L obbedisce alla definizione assiomatica :
(226)
Il vettore spazio-tempo è
(227)
Con c = 1 otteniamo la
forma quadratica elementare, la metrica di Minkowski :
(228)
La matrice inversa è
(229)
Introduciamo ora una traduzione
spazio-tempo :
(230)
costruiamo l'elemento
gp del gruppo di Poincaré Gp come segue
:
(231)
Esercizio : mostrare che forma un gruppo e calcolare la matrice inversa :
(232)
L'elemento dell'Algebra
di Lie è
(233)
e l'anti-azione :
(234)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
Notiamo che
(235)
G d
L
è una matrice
antisimmetrica. Chiamiamola :
(236)
donde :
(237)
Sia :
(238)
da questo, possiamo costruire l'anti-azione :
(239)
dgp'
= gp-1 x
dgp
x
gp
che ci darà la
mappatura :
(240)
(240b)
(240c)
è la mappatura richiesta
:
(241)
