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...Un
elemento gp del gruppo di Poincaré Gp è
definito da un insieme di parametri {pi}, il cui
numero è, per definizione, la dimensione del gruppo. La matrice dg
(g=e) è costruita dall'insieme {dpi}
. Affinché la mappatura precedente corrisponda all'antiazione:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
Per introdurre la dualità
e costruire la mappatura duale, assumiamo la costanza dello scalare:
(243)
La dimensione del
gruppo di Poincaré è 10, da cui abbiamo dieci scalari { Ji
}, componenti del momento Jp.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5
, J6 , J7 , J8 , J9 , J10
}
Decidiamo di dividere questo
in due oggetti:
(244)
Jp= { M , P }
Il primo, M,
è una matrice antisimmetrica (4,4).
P è il quadrivettore
(4,1)
(245)
Quindi:
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
Scriviamo il prodotto scalare
come:
(247)
Tr significa traccia. La costanza
del prodotto scalare dà
(248)
con:
(249)
(249b)
(249c)
ma GG = 1
. Quindi:
(250)
(250b)
(251)
cioè:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
Questa azione coaggiunta può essere messa in forma matriciale:
L'elemento del
gruppo di Poincaré è:
(254)
Il suo trasposto è:
(255)
Consideriamo la matrice:
(256)
scriviamo:
(257)
(258)
(259)
che sarà identificato
alla matrice:
(260)
Allora Jp
è il momento del gruppo di Poincaré, messo in forma matriciale, e
l'azione coaggiunta è:
(261)
Esercizio: verificare che questa
sia un'azione.
La matrice-momento
corrisponde a:
(262)
La diagonale di una matrice antisimmetrica
M è composta da zeri.
(263)
Dipende da sei parametri.
(264)
( lx , ly
, lz , fx , fy , fz )
Scriviamo la matrice:
(265)
Le ultime tre componenti
( fx , fy , fz) formano quello che Souriau chiama il
vettore di passaggio f:
(266)
Le prime ( lx
, ly , lz) sono le componenti indipendenti di una matrice
antisimmetrica (3,3), che Souriau chiama la matrice di spin.
(267)
da cui:
(268)
Il vettore P è
il quadrivettore impulso-energia:
(269)
Allora il momento del
gruppo di Poincaré può essere esplicitato nella sua forma più generale:
(270)
Possiede dieci componenti:
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy
, fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
