| 19 |
Particelle con spin.
...Il gruppo di Poincaré descrive il moto relativistico di un oggetto puntiforme. Analogamente il gruppo di Bargmann descrive il moto non relativistico. Le componenti del momento emergono come quantità puramente geometriche. È una geometrizzazione della fisica.
I fisici hanno familiarità con l'energia E e il vettore impulso p. Ma possono restare un po' perplessi di fronte agli altri due oggetti: il passaggio f e il vettore spin l. La forma delle componenti del momento dipende dalla scelta delle coordinate.
...Ogni gruppo dinamico possiede il proprio spazio dei momenti e la propria azione coaggiunta su tale spazio dei momenti. Se, invece di scegliere dapprima il mondo relativistico (gruppo di Poincaré), avessimo scelto il mondo non relativistico, avremmo dovuto riferirci al gruppo di Bargmann. Per i dettagli di calcolo si vedano le mie lezioni sui gruppi.
Il gruppo di Bargmann è un'estensione non banale del gruppo di Galileo:
(272)
Come il lettore può vedere, questo gruppo agisce su uno spazio a cinque dimensioni:
r : spazio
t : tempo
z : una variabile aggiuntiva.
...Queste questioni della variabile aggiuntiva o delle variabili aggiuntive saranno trattate in seguito. In questo sito il calcolo completo dell'azione coaggiunta del gruppo di Poincaré è stato dato sopra. Si potrebbe anche ricavare il calcolo dell'azione coaggiunta del gruppo di Bargmann sul suo momento. Paradossalmente, il calcolo nel mondo non relativistico è alquanto più complicato di quello nel mondo relativistico.
Il risultato è il seguente:
(273)
Il fisico identifica alcuni oggetti familiari, come la velocità:
(274)
e l'energia cinetica:
(275)
m v è l'impulso.
Velocità rispetto a che cosa?
Un gruppo cambia i parametri del moto, dà a una particella una velocità v e un'energia cinetica E.
Possiamo scegliere l'interpretazione opposta, e considerare che un gruppo è un peculiare punto di vista su qualcosa, su una particella.
Se consideriamo il gruppo SO(3), le matrici a, significa "visto secondo un altro angolo di vista".
Se consideriamo il gruppo O(3), matrici a, si aggiunge la possibilità di osservare la "cosa" attraverso uno specchio.
Il vettore di traslazione
(276)
del gruppo di Euclide aggiunge "visto da altrove".
Nei gruppi dinamici, la presenza di una velocità v nel gruppo significa che l'osservatore si muove.
La traslazione temporale e = Dt significa che l'osservatore vede la cosa dopo un certo ritardo.
Il vettore di traslazione Dr e il ritardo temporale Dt possono essere messi insieme in un vettore di traslazione spazio-temporale:
(277)
Guardando le formule, dal gruppo di Bargmann, vediamo che:
m' = m
Qualunque sia il punto di vista, la massa è invariata.
Semplifichiamo un po' questo "punto di vista", scegliendo a = 1.
L'azione coaggiunta diventa:
(278)
...L'azione coaggiunta indica il cambiamento nei parametri del moto. Se consideriamo di passare da una situazione stazionaria a una non stazionaria, le condizioni iniziali corrispondono a:
E = 0 ( energia zero )
p = 0 ( impulso zero, velocità zero )
"passaggio" f = 0
Allora l'azione coaggiunta dà:
(279)
"Considerare" va letto nel suo significato etimologico.
Un ufficiale giudiziario dice:
- Redigere un sopralluogo con inventario.
...Una visione statica (v = 0) delle cose corrisponde al gruppo di Euclide. L'ufficiale giudiziario osserva le cose a distanza c. Osserva i fatti nel momento in cui accadono (Dt = 0). Eventualmente guarda da un certo angolo (a diverso da 1).
...Un generale, che sorvola un campo di battaglia, su un aereo, è una sorta di ufficiale giudiziario, che osserva le cose da un punto di vista in movimento (da un aereo che viaggia a velocità v).
...Ma un generale, nel suo quartier generale, che guarda un film girato da un aereo senza pilota, un drone, alcune ore prima, dice:
- Considerando l'obiettivo, com'era un'ora prima (Dt non nullo), visto da un punto di osservazione in movimento (v non nullo), da un'altitudine di cinquemila piedi (c non nullo), viaggiando a velocità v e scattando fotografie attraverso un certo angolo (a diverso da 1).
...Un obiettivo non ha velocità, né posizione, né orientamento definiti, anche se si suppone che sia un edificio "fisso". Tutto è relativo. Persino la Terra, il Sole, la nostra galassia si muovono nello spazio.
...Il "polo nord" della Terra è diverso dal "polo nord del Sole", di 23°, e cambia nel tempo (26.000 anni), a causa della precessione degli equinozi. Il nord indicato dal sole (il suo proprio asse di rotazione) non è il nord indicato dalla nostra galassia, la via lattea, che ha il proprio movimento di rotazione (scarto di 90°). Persino una galassia si muove, a trecento miglia all'ora. Rispetto a che cosa? Alle altre. È tutto ciò che possiamo dire.
Il gruppo corrisponde a due diversi punti di vista.
...Se considero che l'oggetto è stazionario, fisso nello spazio e nel tempo, e non possiede alcun movimento di rotazione, tutto ciò che posso dire è:
- Se mi allontano a distanza c.
- Se osservo la cosa, viaggiando a velocità v.
- Se l'informazione, proveniente da questa cosa, mi raggiunge con un ritardo temporale Dt.
Rispetto a me:
---> La massa dell'oggetto non è modificata.
----> Attribuisco all'oggetto un impulso mv, considerato come apparente.
-----> L'oggetto ottiene un "passaggio" f = m [ c - v Dt ]
----> Esso ottiene uno spin
(279b)
Scriviamolo in modo più esplicito:
(280)
(281)
(282)
oppure:
(283)
Si possono considerare le tre componenti indipendenti della matrice di spin l come le componenti di un vettore:
(283b)
...Sebbene il prodotto vettoriale non sia stato definito nel nostro spazio, cioè: non abbiamo dato allo spazio un orientamento destra-sinistra, possiamo considerare l'ultima espressione come un prodotto vettoriale.
(284)
...La v rovesciata indica il prodotto vettoriale. Vediamo che l'ultima riga delle formule che danno l'azione coaggiunta corrisponde a:
(285)
l è una matrice, non un vettore. Ma, secondo la notazione scelta, le lettere in grassetto indicano indifferentemente una matrice o un vettore.
Questo vettore comincia ad assomigliare a qualcosa di familiare al fisico: il momento cinetico.
