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Ricordiamo le componenti del gruppo di Poincaré:
E : energia
p : impulso
f : passaggio
l : matrice di spin.
Per restare vicini al testo di Souriau, chiamiamo
-
Ln l'elemento della componente neutra Ln del gruppo di Lorentz completo L.
-
Ls l'elemento di quella che inverte lo spazio.
-
Lt l'elemento di quella che inverte il tempo.
-
Lst l'elemento di quella che inverte sia lo spazio sia il tempo.
Essendo C il vettore di traslazione spazio-temporale, otteniamo le seguenti componenti del gruppo di Poincaré:
gp ( Ln , C) elemento della componente neutra Gpn.
gp ( Ls , C) elemento della componente Gps, che inverte lo spazio.
gp ( Lt , C) elemento della Gpt, che inverte il tempo.
gp ( Lst , C) elemento della Gpst, che inverte entrambi.
L'azione coaggiunta è:
(313)
P è il quadrivettore:
(314)
Abbiamo quattro matrici caratteristiche:
(315)
con l = ± 1 e m = ± 1 .
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
Siamo interessati a C = 0
(319)
da cui l' = l
e f' = l m f
e:
(320)
gp ( Ln , C) : I E --> E ; p --> p ; f ---> f ; l ----> l
gp ( Ls , C) : I E --> E ; p --> - p ; f ---> - f ; l ----> l
gp ( Lt , C) : I E --> - E ; p --> p ; f ---> - f ; l ----> l
gp ( Lst , C) : I E --> - E ; p --> - p ; f ---> f ; l ----> l
Le inversioni non modificano la matrice di spin l.
Al contrario, l'inversione T e l'inversione dell'energia sono sinonimi
E ---> -E
( potremmo chiamarla una "E-simmetria" )
Lo spin s, come modulo del vettore di spin s, è solo un numero, invariato dall'azione di tutte le componenti dei gruppi, comunque siano orocroni o antiorocroni. .
...L'energia a riposo di una particella è mc2.
Come vediamo l'inversione della massa va con l'inversione del tempo. Ma l'inversione dello spazio non cambia l'energia, né la massa.
Souriau chiama le due prime componenti connesse del gruppo di Poincaré completo:
Gpn , Gps
le componenti orocrone ( Gpn è la componente neutra ).
E le due altre:
Gpt , Gpst
le componenti antiorocrone.
Sorge il problema delle masse negative. Esistono? Se sì, che dire della collisione tra particelle con masse ed energie opposte:
- mc2 e - mc2
...Si noti che non corrisponde alla cosiddetta "annichilazione" di una coppia particella antiparticella. Dalla collisione di queste ultime otteniamo energia radiativa, fotoni.
Il risultato della collisione di una particella di energia positiva e di una di energia negativa dovrebbe essere molto più sconcertante, poiché dovrebbe essere zero: nulla.
...Che cos'è la Natura, che cosa sono le particelle? In questo approccio partiamo da un gruppo dato: il gruppo di Poincaré. Poi costruiamo l'azione di questo gruppo sul suo spazio degli impulsi. Questo spazio degli impulsi è fatto di punti. Ogni punto è un movimento di uno degli oggetti geometrici che compongono lo spazio associato al gruppo.
...Nel seguito mostreremo che il gruppo di Poincaré è incapace di prendere in carico tutte le caratteristiche delle particelle.
...La dimensione del gruppo di Poincaré è 10.
Allora anche la dimensione dell'impulso è dieci.
(321)
J = { E , p , f , l }
Se scegliamo un sistema di coordinate legato alla particella f = 0 .
Riassumendo, le uniche caratteristiche che emergono naturalmente dal gruppo di Poincaré, come quantità geometriche, sono:
Per una particella di massa zero:
- La sua Energia
- Il suo spin e la sua elicità
Per una particella di massa non nulla:
- La sua massa a riposo
- Il suo spin.
Le altre caratteristiche:
-
Carica elettrica
-
Carica barionica
-
Carica leptonica
-
Carica muonica
-
Carica tauonica
-
Fattore giromagnetico
e il fatto che questa particella possa corrispondere al mondo della materia o dell'antimateria non sono "contenuti" nel gruppo di Poincaré. Arricchiremo ulteriormente il gruppo per trattarne.
Al momento il gruppo non "costruisce" particelle e antiparticelle. Ma, se completato dai suoi due sottoinsiemi ( le due componenti orocrone più le due componenti antiorocrone ) "costruisce" come specie distinte, particelle di energia positiva e negativa.
...Se il gruppo di Poincaré completo "governa" l'universo, allora energia positiva e negativa possono coabitare, così da incontrarsi e dare il fenomeno della completa annichilazione.
Se l'universo fosse riempito per il 50 % di particelle di energia positiva e per il 50 di particelle di energia negativa, ci sarebbe un grande rischio che tutto l'universo si autoannichilisca così che nulla resterebbe:
-
Nessuna particella di energia positiva.
-
Nessuna particella di energia negativa
-
Nessun fotone di energia positiva
-
Nessun fotone di energia negativa.
Nulla. Proprio nulla. Che noia!
...Come suggerito da Souriau, Dio, nella sua infinita saggezza, avrebbe creato solo particelle di energia positiva e fotoni di energia positiva. Allo stesso modo i suoi angeli vieterebbero l'uso delle componenti antiorocrone del gruppo di Poincaré, che sarebbe tenuto severamente in prigione da qualche parte.
...Penseremo a un'altra possibilità in una sezione futura.
