Il gruppo speciale di Galileo.
...Il lettore troverà questa estensione nel libro di Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 e, in francese, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Un gruppo può essere esteso. Ciò significa che il numero dei parametri da cui dipende sarà aumentato. Calcolare il numero di parametri da cui dipende il gruppo di Galileo. Partiamo dalla matrice di rotazione 3D:
(322)
È una matrice ortogonale:
(323)
queste matrici formano il gruppo SO(3) che è un sottogruppo del gruppo O(3) composto da tutte le matrici ortogonali. Abbiamo:
(324)
Ricordiamo la differenza con:
(325)
(325b)
sono le matrici ortogonali più generali, i cui determinanti obbediscono a:
(326)
Fine di questa parentesi.
Il successivo gruppo di matrici quadrate (5,5) sarà chiamato il gruppo speciale di Galileo:
(327)
La matrice di rotazione dipende da tre parametri liberi, gli angoli di Eulero. Così che la dimensione del gruppo è dieci.
Usando le notazioni:
(328)
otteniamo:
(329)
Associato al vettore spazio-tempo:
(330)
così che la corrispondente azione del gruppo speciale di Galileo è:
(331)
...Dato il gruppo speciale di Galileo, è possibile calcolare l'azione del gruppo sul suo spazio dei momenti. Il calcolo non sarà dato qui. Il lettore può trovarlo nelle mie lezioni sui gruppi, disponibili.
Diamo il risultato:
(332)
Riconosciamo il momento p e l'energia E. Il momento è composto da:
(333)
JSG = { E , p , f , l }
...Dieci quantità scalari. Dieci dimensioni per il gruppo. Abbiamo ancora il vettore di passaggio f e la matrice antisimmetrica di spin l (composta da tre componenti indipendenti lx , ly , lz , che formano il "vettore di spin").
L'estensione triviale del gruppo speciale di Galileo.
Le successive matrici formano un nuovo gruppo.
(334)
Introduce una nuova componente f, uno scalare, la "fase" (collegata al mondo quantistico). La dimensione del gruppo diventa
10 + 1 = 11
Questo nuovo gruppo agisce su uno spazio a cinque dimensioni:
(335)
z è una "dimensione aggiuntiva". Fu introdotta per la prima volta dal polacco Kaluza, nel 1921, poi da J.M.Souriau, nel 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, non tradotto in inglese).
Anche qui, si può calcolare la corrispondente azione coaggiunta del gruppo sul suo spazio dei momenti. Troviamo questo:
(336)
Il momento diventa:
(337)
JTESG = { m , E , p , f , l }
...Abbiamo uno scalare in più m e lo identifichiamo con la massa. Vediamo che il gruppo speciale di Galileo, agendo sullo spazio-tempo, porta l'energia, ma non la massa, come componente del momento. Al momento attuale (attraverso l'estensione triviale) la nostra particella ottiene un attributo aggiuntivo, che viene identificato con la massa, in modo molto arbitrario, e che non interagisce con le altre componenti del momento.
