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Estensione non banale
del gruppo Speciale di Galileo.
Il gruppo di Bargmann ( 1960 )
Le seguenti matrici
( vedi le mie lezioni sui gruppi )
(338)
formano un gruppo, scoperto da Bargmann nel 1960. Anche qui, agisce su uno spazio
pentadimensionale. La sua dimensione è 11, a causa della presenza dello scalare f . È un'estensione
non banale del gruppo Speciale di Galileo.
(339)
Se si calcola
l'azione coaggiunta del gruppo sul suo momento, si ottiene :
(340)
...Vediamo
che questa azione coaggiunta è più raffinata e che la massa interagisce
con le altre componenti del momento. Abbiamo analizzato ciò sopra e mostrato
come esso porti il significato fisico delle componenti del momento.
...Un
momento è un movimento di una data particella. Il gruppo di Bargmann descrive
movimenti non relativistici. Possiamo considerare una particella a riposo, senza energia,
senza impulso, senza spin. Solo una massa non nulla :
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
Usiamo il seguente
elemento del gruppo di Bargmann :
(341)
Le componenti del momento diventano :
(342)
...In
un sistema di coordinate legato alla particella il passaggio f è ancora
zero. Abbiamo mostrato che la matrice di spin si identifica con il momento cinetico.
...Qui,
ciò che è importante è guardare all'estensione banale del gruppo Speciale di
Galileo (perché "speciale" ? Questo sarà spiegato più avanti). Quando
si esegue questa estensione banale, essa porta semplicemente uno scalare aggiuntivo al
momento.
Estendiamo il
gruppo di Poincaré :
Estensione centrale
del gruppo di Poincaré.
(343)
"ep" significa "gruppo di Poincaré esteso". Lo è l'elemento
del sottogruppo ortocrono Lo del gruppo di Lorentz completo L. Così che possiamo considerare l'elemento sopra come il sottogruppo ortocrono
Gepo di un gruppo di Poincaré esteso completo, il cui elemento è :
(344)
I due agiscono su uno spazio
pentadimensionale :
(345)
( t , x , y , z , z
).
Si può mostrare che questa
estensione non può sopportare termini non nulli sulla prima riga, invece 0
= ( 0 0 0) , tra 1 e f .
...Come
mostrato da J.M.Souriau, il metodo di quantificazione geometrica (metodo Kostant-Kirilov-Souriau)
fa derivare l'equazione di Schrödinger dal gruppo di Bargmann e
l'equazione di Klein Gordon dal gruppo di Poincaré esteso ( Struttura
dei Sistemi Dinamici, Dunod Ed. 1972 ). Inoltre questa estensione centrale
del gruppo aggiunge uno scalare extra al momento (come nell'estensione banale
del gruppo di Bargmann) :
(346)
Jep=
{ c , M , P } = { c , Jp }
Jp rappresenta
il momento classico di Poincaré. Allora l'azione coaggiunta del
momento diventa semplicemente :
(347)
Il calcolo non è
complicato ed è simile a quello presentato sopra. Si calcola l'anti-azione
:
(348)
Allora la dualità è espressa
attraverso la costanza del seguente scalare :
(349)
...Così
che otteniamo uno scalare aggiuntivo c , che è semplicemente conservato attraverso l'azione coaggiunta.
Poiché finora questo scalare non aveva ricevuto alcuna interpretazione fisica. Lo
chiariremo in quanto segue. Ovviamente
possiamo estendere il gruppo quante volte vogliamo :
(350)
Ogni volta, aggiunge uno
scalare aggiuntivo
(351)
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
e l'azione coaggiunta
diventa :
(352)
Il lettore dirà "beh,
perché non aggiungiamo 57 nuovi scalari ? "
Aggiungiamo semplicemente sei e identifichiamo
questi nuovi scalari con
(353)
c 1 = q (carica
elettrica)
c 2 = cB (carica
barionica)
c 3 = cL (carica
leptonica)
c 4 = cm (carica
muonica)
c 5 = ct (carica
tauonica)
c 6 = v (coefficiente
giromagnetico)
Il gruppo agisce sul seguente spazio
decadimensionale :
(354)
( x , y , z , t , z
1 , z 2 , z3 , z 4
, z 5 , z6 )
cioè : spazio-tempo più
sei dimensioni aggiuntive.
(355)
Ricordiamo che questo gruppo
è costruito con il sottogruppo ortocrono
Lo = Ln(componente neutra) U Ls (che realizza l'inversione spaziale)
del gruppo di Lorentz completo L.
Il momento diventa
:
(356)
Jpe
= { q , cB , cL , cm , ct ,
v , Jp }
Jp
essendo la parte del momento corrispondente al gruppo di Poincaré
Gop (sottogruppo ortocrono).
Qual è il significato
fisico ?
...Un
momento appartiene a uno spazio, che è una n-varietà. Il gruppo di Poincaré
possiede dieci dimensioni, così che il momento del gruppo di Poincaré è
composto da dieci quantità.
Poi
aggiungiamo sei dimensioni in più al gruppo, corrispondenti alle fasi aggiuntive
:
(357)
f1 ,f2
,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Il momento diventa
:
(358)
Jpe
= { J1, J2 J3, J4, J5,
J6, J7, J8, J9, J10,
J11, J12, J13, J14, J15,
J16 }
Decidiamo che tra un
insieme di scalari
(359)
Jp
= { J7, J8, J9, J10, J11,
J12, J13, J14, J15, J16
}
identifichiamo l'energia
E, il momento p, il passaggio f , la matrice antisimmetrica di spin
l .
...E
e p possono assumere tutti i valori possibili, ma argomenti quantistici impongono la
costanza del modulo s del vettore di spin (in un sistema di coordinate
legato alla particella), il che non è giustificato qui e corrisponde al lavoro di Souriau.
Abbiamo sei scalari in più
:
(360)
J1, J2
J3, J4, J5, J6
...Decidiamo
che, tra un'infinità di scelte possibili, alcune scelte discrete
corrispondono a particelle reali (e antiparticelle). Allora, nella 16-varietà
corrispondente allo spazio dei momenti selezioniamo movimenti discreti corrispondenti
a particelle, con numeri quantici definiti
(361)
{ q , cB ,
cL , cm , ct , v }
...Per
il momento l'azione coaggiunta del gruppo assicura semplicemente la conservazione
di queste quantità, lungo dati movimenti. Sono "numeri quantici passivi"
così come la massa apparve come una quantità passiva, quando scaturì dall'estensione
banale del gruppo Speciale di Galileo.
