gruppi e azione coadiunta della fisica momento
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...Tutto ciò che seguirà in questo campo ruoterà intorno ai gruppi. È possibile dare un'idea semplificata di questa parte, senza produrre un corso completo sui gruppi? Inoltre, quale relazione tra gruppo e particelle? Tutto ciò sembra molto misterioso per un principiante.
...Prima di tutto, cos'è un gruppo? In quanto segue, una semplice famiglia di matrici quadrate di formato (n,n). L'operazione che permette di far agire l'una sull'altra è la moltiplicazione matriciale (riga-colonna).
Tutte queste famiglie di matrici avranno sempre un elemento neutro, del tipo:
...
Un gruppo obbedisce ovviamente a degli assiomi, quelli di Sophus Lie. Gli assiomi dei gruppi sono più generali di quelli degli assiomi delle matrici, ma, per noi, esisteranno solo gruppi di matrici quadrate, associati a un'operazione di composizione che sia la classica moltiplicazione riga-colonna, indicata con x.
1 - Primo assioma dei gruppi. Esiste un'operazione di composizione, che permette di comporre due elementi di un insieme, e questa legge di composizione, rispetto a quell'insieme, è interna, cioè nel caso della moltiplicazione matriciale:
Siano g1 e g2 elementi di un insieme di matrici quadrate G. Componendoli otteniamo una matrice quadrata:
g3 = g1 x g2
È quindi indispensabile che la matrice appartenga all'insieme G, dello stesso tipo, cioè che:
...Tu potresti dire: "le matrici quadrate di formato (2,2): due righe, due colonne, o (5,5): cinque righe, cinque colonne, soddisfano questo criterio, poiché g3 = g1 x g2 è una matrice dello stesso formato".
Ma questo insieme è... troppo vasto, troppo sfumato. Non potrai farci nulla, e in ogni caso non potrai usarlo in fisica. Inoltre, non soddisfa a priori gli assiomi successivi. Vedi più avanti.
Diamo un esempio semplice di insieme di matrici, con un parametro a, che forma un gruppo:
Componiamo due matrici di questo tipo:
o:
g(a) x g(b) = g(g) = g(a + b)
La matrice prodotto può essere scritta come:
È chiaramente dello stesso tipo di g1 e g2. Cioè:
Controesempio. Consideriamo un'altra famiglia di matrici con un parametro a:
Componiamo due matrici di questo tipo:
La matrice ottenuta non è del tipo (5). Come direbbe Magritte: "questo non è un gruppo". È bastato cambiare un segno.
2 - Secondo assioma dei gruppi:
Dobbiamo avere un elemento neutro, indicato con e, tale che:
g "composto" e = e "composto" g = g
...Nelle matrici quadrate, questo elemento neutro è sempre la matrice identità, indicata con 1, con carattere in grassetto: d'ora in poi indicheremo tutte le nostre matrici e, in generale, tutto ciò che non è uno scalare, con un carattere in grassetto, riservando i caratteri normali per gli scalari. Questo si scriverebbe, in queste condizioni:
g x 1 = 1 x g = g
Nel nostro esempio:
Si noterà di passaggio che: