gruppi e azione coadiunta della quantità di moto in fisica
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3 - Terzo assioma dei gruppi: ogni elemento deve possedere un inverso, indicato con g⁻¹, definito da:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Nel nostro esempio, ciò si scrive:
cioè b = -a oppure:
g⁻¹ (a) = g (-a)
...In questo caso, il calcolo della matrice inversa si imponeva come ovvio. Ma non è sempre così, lontano da esserlo. Che cosa occorre affinché ogni matrice dell'insieme considerato abbia un inverso, cioè sia invertibile? È necessario e sufficiente che il suo determinante sia diverso da zero (rimandiamo il lettore al suo corso di algebra lineare). Un teorema afferma che il determinante di un prodotto di matrici è uguale al prodotto dei determinanti di ciascuna matrice. La definizione stessa del determinante fa sì che il determinante di una matrice diagonale sia uguale al prodotto degli elementi che la compongono. Per esempio:
Conseguenze: il determinante di tutte le matrici unità 1 vale 1. Quindi:
det (g) moltiplicato per det (g⁻¹) è uguale all'unità ¹ 0
conseguenza: una matrice con determinante nullo non può avere un inverso, il che contraddirebbe la sua definizione. Inoltre:
4 - Quarto assioma dei gruppi: l'operazione di composizione deve essere associativa:
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
Questo è sempre vero....
Dimensione di un gruppo:
...Una piccola parentesi sulla dimensione di un gruppo (di matrici), che non ha nulla a che vedere con il rango delle matrici che lo compongono o con il numero di quantità che costituiscono "lo spazio su cui agisce questo gruppo" (ad esempio lo spazio (x,y) a due dimensioni o lo spazio-tempo (x,y) a quattro dimensioni).
...Qui abbiamo un esempio di una famiglia di matrici quadrate con un solo parametro a, che si rivela formare un gruppo. Più avanti troveremo gruppi composti da matrici quadrate definite da n parametri: sei, dieci, sedici, qualsiasi numero.
Il numero dei parametri utilizzati per definire le matrici quadrate del gruppo sarà chiamato dimensione del gruppo.
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Abbiamo a che fare con un gruppo formato da una famiglia di matrici con un parametro a. La dimensione di questo gruppo è 1.
Osserviamo di passaggio che:
Osservazione:
...I gruppi, e in particolare quelli che ci interessano qui, non sono automaticamente commutativi. Anzi, la commutatività è l'eccezione. Il fatto è che il nostro gruppo-esempio è commutativo:
...Si riconoscerà in questo gruppo le matrici di rotazione 2D attorno a un asse fisso. Nel "concreto", questa operazione è "ovviamente commutativa". Ruotare prima attorno a un asse:
- di un angolo a, poi di un angolo b
oppure:
- di un angolo b, poi di un angolo a
porta allo stesso risultato.
Mi dirai: "è normale. I gruppi di rotazione sono essenzialmente commutativi".
...Falso. È una proprietà del 2D. Nel 3D non funziona più. Considera un gruppo particolare, formato dall'insieme delle rotazioni attorno a tre assi ortogonali (OX, OY, OZ).
Esercizio: dimostrerai prendendo un oggetto e sottoponendolo a:
-
prima una rotazione di +90° attorno a OX
-
poi una rotazione di +90° attorno a OZ
e poi le stesse rotazioni, ma nell'ordine inverso, che non otterrai lo stesso risultato. Questa operazione non è commutativa.
Azione di un gruppo.
...Un gruppo G è costituito da un insieme di matrici quadrate. Si può già considerare che agisca su se stesso (vedi più avanti gli assiomi che definiscono un' azione di gruppo, concetto fondamentale).
...Il nostro gruppo-esempio può anche agire sui punti di uno "spazio 2D". Diremo che li fa ruotare. Un gruppo è fatto per trasportare, ma cosa trasportare esattamente?
...Beh, proprio questo non è ciò che conta. Citando il suo libro "Grammatica della Natura", diremo con J.M. Souriau che:
Il modo di trasportare vale più di ciò che si trasporta.
Nel caso del nostro gruppo-esempio, le matrici agiscono su uno spazio 2D (x,y), e si potrà scrivere l'azione corrispondente
Se si pone (matrice-colonna):
allora l'azione si scrive semplicemente:
g × r
...In questo caso particolare, l'azione del nostro gruppo sullo spazio (x,y) si identifica con il prodotto matriciale. Ma vogliamo mostrare che si tratta solo di un caso particolare e che il concetto d'azione, fondamentale in fisica, è molto più generale.