gruppi e azione coadiunta della fisica momento
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Una matrice quadrata di rango (n,n) agisce su un vettore colonna (n,0). Abbiamo visto che il gruppo euclideo 2D, riferito a uno spazio (x,y), non coinvolge azioni su vettori-colonna:
(51)
ma bensì su vettori-colonna:
(52)
Il che rappresenta un esempio di azione del gruppo su uno spazio X con x ** X **. Esistono infinite azioni possibili, anche solo del gruppo su se stesso. Le azioni sono definite da assiomi.
(53)
Considerando il vettore colonna:
(54)
dove x rappresenta, ad esempio, i vettori:
(55)
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si verifica che soddisfano gli assiomi dell'azione di gruppo. Si può quindi effettuare una moltiplicazione a sinistra della matrice quadrata che rappresenta l'elemento del gruppo con una matrice riga y, chiedendosi se anche questo costituisca un'azione.
(57) Ag(y) = y x g
La risposta è no. Non si tratta di un'azione di gruppo: non soddisfa gli assiomi sopra indicati. Si tratta allora di ciò che amo chiamare un' "anti-azione", che obbedisce invece agli "anti-assiomi" seguenti:
(58)
Il matematico dirà che non è affatto necessario invocare queste "anti-azioni" e che esiste un solo insieme di assiomi. Certamente. Allo stesso modo, ciò che viene considerato un'anti-azione:
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
con m vettore dato, una "anti-azione dell'elemento g del gruppo G sulla matrice m", dove g⁻¹ indica la matrice inversa, può essere trattato come un'azione dell'elemento g⁻¹.
Analogamente, un'anti-azione non è altro che la duale di un'azione. Diciamo che mi è sembrato comodo introdurre questo concetto, per ragioni didattiche.
A partire da un gruppo di matrici quadrate dipendenti da n parametri pi, si possono costruire matrici differenziando tutti questi parametri secondo: dpi. Le matrici così ottenute, punteggiate di elementi dpi, non costituiscono un gruppo, ma ciò che si chiama il "vettore tangente al gruppo": dg (la sua "algebra di Lie", che a proposito non è neanche una vera algebra, ma passiamo...).
Il gruppo può quindi agire sul "vettore tangente" dg, nel vicinato dell'elemento neutro e del gruppo, attraverso l'"anti-azione":
(60) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Si ottiene quindi lo schema:
(61)
Ma un'anti-azione è la duale di un'azione. Ora, quando c'è dualità, c'è conservazione di un prodotto scalare S.
Souriau ha quindi cercato di costruire una seconda azione di gruppo, quella del gruppo sul suo spazio dei momenti. Ma questa azione, detta azione coadiunta o essenziale, non poteva emergere direttamente. È stato quindi necessario passare attraverso questo intermediario che io chiamo "l'anti-azione del gruppo sul suo vettore tangente".
Così l'azione cercata emerge come duale dell'anti-azione del gruppo sul suo vettore tangente. E la duale di un'anti-azione, è un'azione, che si scrive:
(62) Ag(J)
dove J sarà il "momento": una costellazione di quantità che sono attributi di un "punto materiale", l'azione in questione, detta coadiunta, mostra come questi attributi si modificano nel movimento.
Esiste un gruppo, che verrà dato più avanti, che è un'estensione del gruppo di Galilei, anch'esso dato più avanti, e che si chiama gruppo di Bargmann (1960). Applicando questo metodo a questo gruppo, si può costruire il suo momento JB e la maniera in cui il gruppo agisce su di esso.
Souriau ha l'abitudine di dire:
Il momento segue il movimento come la sua ombra.
Immagine elegante, tratta dal suo libro "Grammatica della Natura". Il punto materiale si muove effettivamente nello spazio-tempo (x,y,z,t). In questo movimento i suoi attributi evolvono, descritti proprio da questa azione coadiunta del gruppo sul suo spazio dei momenti.