gruppi e azione coadiuvante della fisica momento
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Questa azione coadiuvante può essere scritta in forma matriciale.
La matrice del gruppo di Poincaré è:
(92)
la sua trasposta è:
(93)
Consideriamo la matrice:
(94)
Cioè mettiamo il momento
(95) Jp = { M , P }
in forma matriciale e formiamo il prodotto:
(96)
(97)
(98)
che posso identificare con la matrice:
(99)
Jp è quindi il momento del gruppo di Poincaré, espresso in forma matriciale. E l'azione coadiuvante si scrive:
(100)
A titolo di esercizio, il lettore potrà, facendo riferimento agli assiomi, verificare che si tratta effettivamente di un'azione.
Il momento del gruppo di Poincaré può essere espresso come segue:
(101)
Questa matrice è antisimmetrica (il che implica che la sua diagonale principale è costituita da zeri). M è la matrice:
(102)
Esplicitiamola:
(103)
Si tratta effettivamente di una matrice antisimmetrica, ipotesi formulata fin dall'inizio, che dipende da sei parametri:
(104)
(lx, ly, lz, fx, fy, fz)
Gli ultimi tre (fx, fy, fz) sono le componenti di un vettore, il vettore passaggio f:
(105)
I primi tre (lx, ly, lz) sono le componenti indipendenti di una matrice antisimmetrica (3,3), il tournoiement l:
(106)
Pertanto:
(107)
Il vettore P è il quadri-vettore impulso-Energia:
(108)
Possiamo allora esplicitare il momento del gruppo di Poincaré, nella sua generalità:
(109)
Verifichiamo che si tratta effettivamente di un oggetto a dieci componenti (numero uguale a quello delle dimensioni del gruppo).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}