azioni coadiunte del gruppo e momento
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Particelle con spin.
Il gruppo di Poincaré descrive il movimento relativistico di un oggetto puntiforme. Analogamente, il gruppo di Bargmann, la cui espressione sarà data in seguito, descrive il movimento non relativistico di un oggetto puntiforme, che viene chiamato allora "punto-massa".
Si vede quindi che questa tecnica, il calcolo dell'azione coadiunta del gruppo su uno spazio dei momenti, ha permesso di far emergere elementi nascosti, attributi dell'oggetto: le componenti del momento .
Ciò che è notevole è che questa procedura, dovuta a Souriau, fa apparire gli oggetti chiave della fisica come oggetti puramente geometrici . Ha quindi realizzato un lavoro senza precedenti di geometrizzazione della fisica .
Oltre all'energia e alla quantità di moto, altre componenti, il "giramento" e il "passaggio", sconcertano parecchio il fisico. Cosa sono questi?
L'espressione delle componenti del momento dipende ovviamente dal sistema di coordinate scelto.
Il più semplice è probabilmente fare un breve ritorno al non relativistico, altrimenti all'espressione dell'azione coadiunta, come sarebbe emersa dall'analisi del gruppo di Bargmann.
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Formula misteriosa. A cosa serve? Come funziona?
Nell'incorniciatura sopra, il fisico avrà riconosciuto alcuni oggetti familiari:
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non sono che due espressioni del vettore velocità { vx , vy , vz }, la prima in forma di matrice colonna e la seconda in forma di matrice riga. Il prodotto delle due matrici è uno scalare:
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qualcosa che inizia a somigliare a un'energia cinetica.
m v è una quantità di moto.
Il fisico tradizionale, riguardo alla dinamica di un punto materiale, conosce solo tre cose:
- La massa m
- La quantità di moto m v - L'energia cinetica 1/2 mv2
Sì, ma velocità rispetto a cosa ?
Un gruppo è anche un punto di vista sulle cose. Si può quindi considerare che si trasporta, attraverso il gruppo, degli oggetti (come visto con il gruppo di Euclide), rispetto a un osservatore supposto fisso, oppure, l'oggetto essendo fisso, si osserva in modo diverso.
Se si adotta questo spostamento, questo trasporto degli oggetti, riguardo ai gruppi dinamici, quelli della fisica (in opposizione al gruppo di Euclide dove il tempo non appare), si dovrà dire anche che si animano gli oggetti, conferendo loro velocità v ed energia E .
Se si adotta il punto di vista inverso: considerare che l'oggetto è fisso e considerare di spostarsi, che senso dare ai gruppi?
Il gruppo di Euclide significherebbe allora:
"Visto da un altro posto e da un altro angolo".
"L'altro posto" è il vettore di traslazione :
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"Visto da un altro angolo" è la matrice di rotazione a, una rotazione nello spazio (che potremmo esplicitare con gli angoli di Eulero, cosa che non faremo).
Riguardo ai gruppi dinamici, questo punto di vista, questa visione sulle "cose", deve essere arricchito. Restando nel contesto del gruppo di Bargmann, il fatto di introdurre questa velocità v significa che, in aggiunta, l'osservatore, che osserva questo punto-massa da un altro posto (vettore di traslazione c), da un altro angolo (matrice di rotazione a), è anche animato, rispetto a questo punto-massa supposto immobile, da una velocità v .
E, per essere completi, per complicare ulteriormente, non evolve nello stesso tempo della particella, del punto-massa osservato. È spostato rispetto a lui di un intervallo di tempo Dt. In altre parole: lo osserva da un altro posto, ma è un altro posto spazio-temporale, corrispondente al vettore di traslazione spazio-temporale:
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Aver preso un tale "distacco", rispetto a questo punto-massa, cosa osservo? Primo che: m' = m
Questo non influisce sulla sua massa.
Posso semplificarmi la vita annullando la rotazione. È già abbastanza complicato osservare un punto-massa da un altro posto, visto da un altro momento, spostato, su uno skateboard animato da una velocità v . È davvero indispensabile girare il collo?
No. Facciamo a = 1.
ma di solito si omette questo dettaglio nei calcoli. L'azione coadiunta, così particolarizzata, diventa:
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Considerare deve essere inteso nel suo senso etimologico. Cosa faccio quando considero una situazione, il cielo, un campo di battaglia, il film registrato da un aereo spia?
Un cancelliere scriverà:
- Considerato lo stato dei luoghi.....
Visione statica, corrispondente al gruppo di Euclide. Il cancelliere osserva gli oggetti a una distanza c , nello stesso momento (Dt = 0), in pratica immobile ( v = 0). In casi particolari sotto un certo angolo.
Un generale, che gira in un aereo di ricognizione, è una sorta di cancelliere che si muove (v # 0).
Ma un capo di stato maggiore che guarda il film registrato da un aereo spia, un "drone", si trova di fronte a una situazione spostata nel tempo. È costretto a dire:
- Consideriamo la meta, vista da un certo punto, in virata inclinata, a una certa velocità, e inoltre come si presentava due ore prima...
La meta non ha una velocità propria particolare. Non si può considerarla come fissa, anche se è "un impianto fisso". Anche la Terra si muove, così come il Sole, la galassia, ecc.