gruppi e azione aggiunta del momento della fisica

gruppi e azione coadiacente della fisica momento

Particelle con spin di massa non nulla.

Non esiste più un legame diretto tra energia e quantità di moto, come avviene per i fotoni e i neutrini, particelle prive di massa.

(131)

m essendo la massa a riposo, che coincide con la massa emergente dal gruppo di Bargmann, si ha:

(132a)

(132b)

Limitiamoci a:

Protone
elettrone
neutrone
e le loro antiparticelle.

Le particelle possiedono diverse cariche, attributi, che non emergono neppure dal gruppo di Poincaré:

• Carica elettrica e = ± 1
• Carica barionica cB = ± 1
• Carica leptonica cL = ± 1
• Carica muonica cm = ± 1
• Carica tauonica ct = ± 1
• Coefficiente giromagnetico v

L'inversione di tutte queste quantità corrisponde alla simmetria C. Possiamo quindi raggruppare tutto ciò secondo la tabella seguente:

(133)

che può assumere qualsiasi orientazione, così come lo spin.

Il momento magnetico è uguale al coefficiente giromagnetico v moltiplicato per lo spin s.

(134)

Qui abbiamo utilizzato una lettera in grassetto s per lo spin. Ciò significa che la direzione dello spin delle particelle può essere qualsiasi. Tuttavia il suo modulo è una delle loro caratteristiche fondamentali e rimane invariante (quantizzazione geometrica della rotazione delle particelle).

La simmetria C, la coniugazione delle cariche, che inverte il coefficiente giromagnetico v, inverte anche il momento magnetico.

Magneti permanenti.

Se si mette un pezzo di ferro dolce in un campo magnetico abbastanza intenso, e poi si riduce il campo, il metallo conserva un'induzione magnetica permanente. Cosa è successo?

Il campo magnetico allinea gli spin degli elettroni, i quali si comportano come piccoli magneti, piccoli dipoli magnetici.

Ma perché conservano poi la direzione impartita? Per imitazione. Ogni elettrone si allinea secondo il campo magnetico creato dai vicini. E, poiché anche gli altri fanno lo stesso, tutti questi momenti mantengono il loro parallelismo. È un "Panurge spaziale". A meno che non si scaldi il pezzo di metallo o non lo si colpisca, nel qual caso si finirà per disturbare questa bella organizzazione elettronica.

Momento magnetico dell'antimateria.

La coniugazione di carica, legata alla trasformazione materia-antimateria nel senso di Dirac (vedremo più avanti cosa significa), comporta l'inversione del momento magnetico, a causa dell'inversione del coefficiente giromagnetico, mentre lo spin rimane invariato.

Naturalmente questa simmetria C non modifica né l'energia, né la quantità di moto della particella.

Le quattro componenti del gruppo di Lorentz.

Come visto, l'elemento L del gruppo di Lorentz L è definito in modo assiomatico. Deve soddisfare:

(135)

(136)

Ogni matrice L che soddisfa questa definizione appartiene al gruppo L. Si tratta di una matrice di dimensione (4,4), che può ad esempio agire su:

(137)

cioè sull'insieme spazio-tempo. Ci si può quindi chiedere se queste matrici non siano suscettibili di operare simmetrie in questo spazio. Si potrebbe, ad esempio, scambiare x con -x? Le matrici non potrebbero essere classificate in diversi sottoinsiemi, quelle che realizzano questa operazione e quelle che non la realizzano?

Da molto tempo ormai (in inglese: many beautiful candles ago), si è esplorato tutto questo, dimostrando che il gruppo di Lorentz è in realtà composto da quattro tipi di matrici.

Ln - Quelle che non invertono né lo spazio né il tempo.
Ls - Quelle che invertono lo spazio
Lt - Quelle che invertono il tempo
Lst - Quelle che invertono entrambi.

Questi insiemi si chiamano componenti di un gruppo. Il gruppo di Lorentz è quindi un gruppo composto da quattro componenti.

Possiamo subito produrre quattro matrici, ognuna delle quali appartiene al sottoinsieme indicato:

(138)

An = 1 (elemento neutro), appartiene a Ln: non inverte né lo spazio né il tempo.
As appartiene a Ls: inverte lo spazio
At appartiene a Lt: inverte il tempo
Ast appartiene a Lst: inverte sia lo spazio che il tempo.

Per costituire un gruppo (in questo caso un sottogruppo del gruppo di Lorentz) è necessario che un insieme di matrici contenga l'elemento neutro 1 nel formato (n,n) considerato, qui: (4,4). Solo le matrici dell'insieme Ln soddisfano questo criterio. Esse formano un sottogruppo del gruppo di Lorentz. Poiché questo insieme contiene l'elemento neutro del gruppo, lo si chiama anche componente neutra del gruppo. Gli altri insiemi di matrici non formano sottogruppi (impossibile: non contengono l'elemento neutro).

Osservazione:

(139) At = - As Ast = - An

Possiamo quindi considerare l'insieme Lo = Ln » Ls, che è un sottogruppo del gruppo di Lorentz e che chiameremo ortocrono [1]. Le matrici Lac = Lt » Lst non formano un gruppo, ma l'insieme delle componenti legate all'inversione del tempo, insieme che chiameremo anticrono [12]. Il gruppo di Lorentz completo è:

(140) L = Lo » Lac

Ma si può anche notare che l'elemento:

(141) m Lo, con m = ± 1

ricopre l'intero gruppo.