gruppi e azione coadiacente della fisica momento
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Le quattro componenti del gruppo di Poincaré.
A partire dal gruppo di Lorentz si costruisce il gruppo di Poincaré, già menzionato:
(142)
C è il vettore "traslazione spazio-temporale".
(143)
Anche il gruppo di Poincaré avrà quattro componenti, ognuna legata alla corrispondente componente del gruppo di Lorentz.
Più sopra, l'azione del gruppo sul suo spazio dei movimenti. Ma ciò che è interessante sono le azioni delle quattro componenti sul momento. Vedi: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (e Birkhauser 1997, in inglese), capitolo III, pagina 197, sezione intitolata: Inversions d'espace et de temps.
Ricordiamo le componenti del momento associate al gruppo di Poincaré:
E: energia
p: impulso
f: passaggio
l: rotazione
Per avvicinarci alle notazioni di Souriau, chiamiamo:
- Ln la componente neutra del gruppo di Lorentz.
- Ls quella che inverte lo spazio.
- Lt quella che inverte il tempo – Lst quella che inverte entrambi.
C essendo una traslazione spazio-temporale, le quattro componenti del gruppo di Poincaré sono:
gp ( Ln , C) componente neutra
gp ( Ls , C) che inverte lo spazio
gp ( Lt , C) che inverte il tempo
gp ( Lst , C) che inverte spazio e tempo.
Cerchiamo gli effetti sulle componenti del momento. Dobbiamo considerare le formule che danno l'azione del gruppo sul suo spazio dei momenti:
(144)
P è il quadrivettore:
(145)
Possiamo scrivere le matrici da analizzare:
(146)
con l = ± 1 e m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(147)
(148)
Passiamo all'esame dell'azione sulla rotazione e sul passaggio.
(149)
Ma, in ciò che ci interessa, C = 0
(150)
da cui l' = l e f' = l m f
Ne deduciamo:
(151) gp ( Ln , C) : I E → E ; p → p ; f → f ; l → l
gp ( Ls , C) : I E → E ; p → - p ; f → - f ; l → l
gp ( Lt , C) : I E → - E ; p → p ; f → - f ; l → l
gp ( Lst , C) : I E → - E ; p → - p ; f → f ; l → l
Le inversioni non modificano mai la rotazione l.
Al contrario, l'inversione temporale e l'inversione dell'energia, E → -E, sono sinonimi.
La rotazione è sinonimo di spin, quando quantizzata. Nessuna inversione la altera.
Lo spin (come modulo del vettore rotazione della particella) è semplicemente un numero.
L'energia di una particella a riposo è mc².
L'inversione temporale è sinonimo dell'inversione della massa m.
L'inversione spaziale non inverte la massa.
Le prime due componenti del gruppo sono nominate da Souriau ortocroni, e le ultime due anticroni.
Osserva che tutto ciò solleva il problema delle masse negative, che i fisici non amano particolarmente. Infatti, che dire del risultato dell'incontro di due particelle dotate di energie + mc² e - mc²?
Si ha un'annichilazione completa. Non si tratta della semplice annichilazione materia-antimateria, che invece produce fotoni. Si tratterebbe di un fenomeno che produrrebbe il nulla allo stato puro.
Per evitare questo inconveniente delle masse negative, Souriau considera due soluzioni. La prima consiste nel decidere semplicemente che le particelle a massa negativa non esistono. La seconda consiste nell'escludere le trasformazioni anticroni.
Parafrasando potremmo dire che:
- Dio, nella sua infinita sapienza...
Continuiamo a mettere in atto elementi che serviranno da punto di partenza per il nostro lavoro.