gruppi e azione coadiunta della fisica momento
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Estensione centrale del gruppo di Poincaré.
Si trova menzione di un'estensione di questo tipo nel libro di J.M. Souriau, Struttura dei Sistemi Dinamici. La sua metodologia di quantizzazione geometrica gli permette, a partire da un gruppo, di ricondurre alle equazioni della Meccanica Quantistica. Per esempio, il gruppo di Bargmann, che descrive una particella materiale non relativistica, conduce all'equazione di Schrödinger, anch'essa non relativistica.
Il punto di partenza è il gruppo di Galilei. Si tratta di una matrice di dimensione (5,5) costruita in questo modo:
(152)
La matrice di rotazione dipende da tre parametri, gli angoli di Eulero. La dimensione del gruppo è quindi dieci.
Utilizzando le notazioni:
(153)
(154)
associato allo spazio-tempo:
(155)
Anche se sembra strano, la costruzione dell'azione coadiunta del gruppo sul suo spazio dei momenti non fa emergere la massa m come oggetto geometrico. Questo può avvenire solo attraverso un'estensione non banale di questo gruppo, il gruppo di Bargmann (1960).
(156)
La presenza dello scalare f aumenta la dimensione di questo gruppo di una unità: diventa undici.
Questo gruppo agisce su uno spazio a cinque dimensioni, lo spazio-tempo, più una dimensione aggiuntiva z, attraverso l'azione:
(157)
L'azione coadiunta del gruppo di Bargmann sul suo momento è stata precedentemente data. Si osserva che l'aggiunta dello scalare f, che aggiunge una dimensione al gruppo, introduce una nuova componente nel momento, che può essere identificata con la massa m (che inoltre risulta conservata: m' = m).
Partendo dal gruppo di Bargmann e utilizzando la sua metodologia di quantizzazione geometrica, Souriau può quindi costruire l'equazione di Schrödinger, non relativistica.
L'equazione quantistica relativistica è l'equazione di Klein-Gordon. Era quindi logico cercare da quale gruppo potesse derivare. Si tratta dell'estensione centrale:
(158)
"pe" per "Poincaré esteso". Qui abbiamo costruito il gruppo di Poincaré a partire dal sottogruppo ortocrono del gruppo di Lorentz Lo.
Lo spazio associato a questo gruppo è anch'esso a cinque dimensioni:
(159) ( t , x , y , z , z ).
Questa estensione è più semplice di quella di Bargmann, ma in realtà le cose sono sempre più semplici in ambito relativistico. Si dimostra, incidentalmente, che tra il 1 e il f della prima riga può trovarsi soltanto la matrice riga 0 = ( 0 0 0 ): tutti zeri.
La metodologia della quantizzazione geometrica conduce quindi all'equazione di Klein-Gordon. Riguardo all'azione del gruppo sul suo spazio dei momenti si ottiene quanto segue:
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
Il calcolo non è complicato. In realtà si ripete esattamente come il calcolo dell'azione coadiunta del gruppo di Poincaré sul suo momento.
Si calcola l'anti-azione:
(160 b )
poi si esprime l'invarianza del prodotto scalare (dualità):
(160 c)
Se riuscite a superare questo calcolo, sarà un chiaro segno positivo. Significherà che state iniziando a entrare in questo caos.
Appare quindi uno scalare c, la cui unica funzione è quella di conservarsi. Che cosa significa? Nessuna spiegazione. È semplicemente "qualcosa che si conserva". Si può attribuirgli, per esempio, il ruolo di carica elettrica.
La prima idea che viene in mente è quella di realizzare più volte questo tipo di estensione:
(161)
Si dimostrerà più avanti che si può compiere questa operazione all'infinito e che ad ogni iterazione si aggiunge un ulteriore scalare:
(162) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
con azione coadiunta:
(163)
Si considererà allora che certi valori discreti delle componenti del momento rappresentino le cariche della particella.
Bene, dirà il lettore, effettivamente si potrebbe aggiungere, per esempio, sei righe supplementari. Si otterrebbe così l'invarianza di scalari che si potrebbero identificare con:
(164)
c 1 = e (carica elettrica)
c 2 = cB (carica barionica)
c 3 = cL (carica leptonica)
c 4 = cm (carica muonica)
c 5 = ct (carica tauonica)
c 6 = v (coefficiente giromagnetico)
Sarebbe sufficiente considerare il gruppo, con l'azione corrispondente, associato a uno spazio a dieci dimensioni:
(165) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
(166)
Ancora una volta costruiamo il gruppo attorno al sottogruppo ortocrono Lo del gruppo di Lorentz:
Lo = Ln (componente neutra) » Ln (inversione dello spazio).
Questo gruppo, a due componenti, fa semplicemente emergere sei scalari che accompagnano la particella senza interagire con nulla. Il momento diventa:
(167) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp essendo la "parte Poincaré". Ma ciò rimane di interesse limitato.