gruppi e azione aggiunta della fisica momento

gruppi e azione coadjointa della fisica momento

Ritorno alla questione del momento.

Siamo pronti a intraprendere un'avventura, cioè a scrivere una semplice matrice, a inventare un gruppo dipendente da un certo numero di parametri e capace di agire su uno spazio dotato di un certo numero di dimensioni (qui, in particolare, dieci). Poi, lavorando alla maniera dei boustrophedoni (da bous, il bue, e strophedein, il solco), abbiamo calcolato questa famosa azione coadjointa del gruppo sul suo spazio dei momenti e ne abbiamo definito l'oggetto, i suoi attributi, le componenti e il modo in cui questa azione coadjointa agisce su di esse, a cui cercheremo allora di dare un senso, un' interpretazione fisica.

Ritorniamo brevemente sul cammino percorso, rimettendo in moto un gruppo che, se apparentemente più complesso dal punto di vista formale:

(168)

ci ha fornito un'azione coadjointa, di seguito:

(169)

la quale ha immediatamente fatto emergere le componenti di questo oggetto puntiforme, di questo punto materiale.

(170)
JB = { E , m , p , f , l } JB = = { E , m , px , py , pz , fx , fx , fx , lx , lx , lx }

In ogni caso, sapevamo fin dall'inizio che questo misterioso momento doveva essere composto da undici scalari, poiché il loro numero doveva essere uguale alla dimensione del gruppo, che è anch'essa undici. Un'occhiata alla matrice-elemento del gruppo di Bargmann:

(171)

a è una matrice "ortogonale", una matrice "che ruota" o "legata a una rotazione in uno spazio 3D". L'avevamo esplicitata nel caso bidimensionale. In quel caso, questa matrice dipendeva da un solo parametro, l'angolo di rotazione a.

In 3D dipenderà invece da tre parametri, gli angoli di Eulero:
a b g

Il vettore velocità v aggiunge tre parametri in più:
vx vy vz

La traslazione spaziale c ne introduce altre tre:
Dx Dy Dz

e la traslazione temporale ne aggiunge un altro: e = Dt

Totale: dieci.

Aggiungiamo un misterioso undicesimo parametro: f "legato al mondo quantistico". Bene...

Totale generale: undici. Dunque un momento con undici componenti, che potrei scrivere nella forma:

(172)

JB = = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }

Calcolando in ogni caso, ho potuto mettere in evidenza legami tra queste componenti del momento, il modo in cui si articolavano tra loro, si raggruppavano per costituirsi:

• in scalari (E e m)
• in vettori (p e f)
• in matrice: l.

È come se dicessi: un essere umano ha una testa, due braccia e due gambe. Ma come si muove, come questi "componenti" sono "articolati" tra loro?

L'azione coadjointa ci ha poi precisato come il gruppo agisce su questi elementi del momento:

(173)

In questa tabella, si è subito notato che in questo famoso momento esiste una delle sue componenti, m (alla quale avremmo potuto lasciare il nome iniziale arbitrario: J2), un semplice scalare, che rimane insensibile a questa azione del gruppo.

Abbiamo quindi pensato che questo ruolo si adattasse abbastanza bene a ciò che crediamo di sapere della massa m in un mondo non relativistico.

Queste formule del momento ci fornivano i valori di queste apparenze chiamate attributi, componenti del momento associato al punto materiale: stiamo tracciando la materia nei suoi stati: quando è ruotata (a), spostata spazialmente (c), temporalmente (e), animata da una velocità v e misteriosamente spostata in questa altrettanto misteriosa quinta dimensione z, di una quantità f, di cui ci viene detto che "tutto ciò è legato al quantistico".

Bene...

Il momento subisce una trasformazione, tramite l'azione coadjointa che agisce su di esso. Passa da uno "stato":

(174)

a un altro "stato":

(175)

Perché non considerare allora una sorta di "stato fondamentale", che sarebbe:

(176) JB = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }

dicendo che un'azione coadjointa farebbe allora emergere degli attributi che potrei riconoscere.

Ma vedo che dovrei almeno includere la massa m, poiché l'azione coadjointa non la modifica. Se la prendessi nulla, rimarrebbe nulla. Quindi devo partire dall'oggetto di base:

(177)
JB = { 0 , m , 0 , 0 , 0 } = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }

Questo oggetto non ha energia. È l'azione del gruppo che gliene conferisce una. Allo stesso modo gli conferisce una quantità di moto, un passaggio e una rotazione.

Un'energia cinetica:

(178)

Una quantità di moto (il fisico integralista direbbe una "quantità di moto"):

(179) m v

Un "rotolamento", una sorta di "momento angolare proprio", come se il nostro punto materiale potesse ruotare su se stesso (il che potrebbe essere vero per una piccola pallina di metallo, di massa m, abbastanza piccola da poter essere assimilata a un punto materiale):

(180)

Rimane questo oggetto estremamente sconcertante per un fisico, il "passaggio". E agendo su questo punto materiale, gli ho conferito un "attributo-passaggio", che inizialmente non aveva, e che risulta essere:

(181)

Le componenti della matrice del gruppo sono state tutte trattate come grandezze indipendenti. È "il trasporto più generale".

Infine, quando si agisce su un essere umano, questo può trovarsi "trasportato" e "messo in ogni stato".

Qui si tratterebbe del trasporto più generale, in cui il nostro punto materiale è:

• oppure ruotato: a
• oppure spostato spazialmente: c
• oppure spostato temporalmente: e
• oppure animato da una velocità: v
• oppure spostato di una quantità misteriosa f in uno spazio altrettanto misterioso z.

Oppure:

• osservato da distanza c
• da un osservatore animato da una velocità v
• da un certo angolo a
• secondo un filmato registrato e = Dt prima o dopo.
• da un "quinto punto di vista" spaziale z, dove l'osservatore si sarebbe misteriosamente "spostato di z".

Tutto ciò dovrebbe essere "ritornare allo stesso".