gruppi e azione coadiacente della fisica momento
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Applicazione a quanto sopra:
(197)
È stata utilizzata la proprietà ovvia: la trasposta della trasposta di una matrice è la matrice di partenza.
Quindi, globalmente:
(198)
Se prendo una particella di massa non nulla, posso sempre immaginarmi di averla scelta dall'albero della conoscenza degli stati a riposo e in movimento, con impulso nullo.
Ho visto che posso anche riuscire a cancellare il passaggio, collocandomi in un riferimento che "accompagna la particella nel suo movimento".
(199)
Non posso considerare una particella con energia a riposo E₀ nulla. Non avrebbe senso fisico. Ma so anche, o sono tenuto a sapere, che una particella non può avere uno spin nullo, anche in un ipotetico stato di riposo. Inoltre, non solo lo spin, o "vettore spin s", esiste sempre, ma il suo modulo s è invariante, anzi è una caratteristica della particella. È un multiplo semintero di h/2π, ovvero della costante di Planck ridotta. È anche una conseguenza della "quantificazione geometrica" inventata da Souriau.
Ancora una volta, dalla geometria...
Questi "attributi" sono un po' più sconcertanti degli attributi non relativistici menzionati in precedenza.
Ma va notato che questa "quantificazione geometrica" si applica anche al mondo non relativistico (gruppo di Bargmann), quantificando lo spin, il momento angolare individuale, la "vorticosità", lo spin, indipendentemente dal nome che gli si dia, della particella, del punto materiale, del sistema, del "qualcosa" gestito dal gruppo. Può cambiare direzione, ma: Non toccare il mio modulo s.
Tutto ciò passa attraverso una variabile aggiuntiva z, considerata da alcuni teorici e matematici come "un intermediario di calcolo".
Detto questo, in questo spazio a cinque dimensioni: z, x, y, z, t
ci si sposta, ci si trasporta.
Ci sono cose che non creano problemi, come: x → -x, y → -y, z → -z
che corrisponde a una simmetria P. Se la applichiamo non a un oggetto puntiforme, ma a un insieme di punti legati, le strutture vengono trasformate nel loro enantiomorfo, nell'immagine speculare. Ma per una particella isolata, si tratta solo di un "altro movimento".
Tornando sempre nello spazio a 5 dimensioni, abbiamo visto che alcuni attributi si sono separati.
In non-relativistico: - la massa m - l'energia E
In relativistico: - E e m intrecciati l'uno nell'altro in un'unica entità.
Sono semplici scalari. Il matematico dirà che possono essere scelti indifferentemente positivi o negativi. Sono solo scelte effettuate in uno spazio di momenti particolari, che costituiscono lo spazio dei momenti, dipendente da n parametri (n uguale alla dimensione del gruppo). Nel momento associato al gruppo di Poincaré (non esteso):
(200) Jp = { E, p, M }
i parametri possono a priori assumere qualsiasi valore, positivo o negativo.
Sia J l'insieme dei parametri che definiscono il momento. J è lo spazio dei momenti. In questo spazio dovremmo quindi poter distinguere due domini:
(201)
Il gruppo "sovrasta" questo spazio e garantisce i diversi trasporti. Contiene così elementi che permettono di trasformare un movimento nell'altro. Come dice Souriau:
Il momento segue il movimento come la sua ombra.