f4202 Geometrizzazione della materia e dell'antimateria attraverso l'azione coaggiunta di un gruppo sul suo spazio delle quantità di moto. 1 :
Cariche come componenti scalari aggiuntive della quantità di moto di un gruppo che agisce su uno spazio a 10 dimensioni.
Definizione geometrica dell'antimateria. (p2) – Una terza componente :
(14)
costruita a partire dalla componente $L_t$ del gruppo di Lorentz.
– e una quarta :
(15)
costruita a partire dalla componente $L_{st}$ del gruppo di Lorentz.
Un gruppo agisce sul suo spazio delle quantità di moto [1]. Indichiamo con $J_p$ lo spazio delle quantità di moto associato al gruppo di Poincaré.
…Ogni elemento particolare J$_p$ di $J_p$ corrisponde a un movimento particolare di un punto massivo relativistico, descritto da questo gruppo. Si può calcolare l'azione coaggiunta del gruppo sulla quantità di moto [1].
La quantità di moto è un insieme di 10 componenti (uguali alla dimensione del gruppo). Queste componenti sono :
(16) J$_p$ = { $E$, $p_x$, $p_y$, $p_z$, $f_x$, $f_y$, $f_z$, $s_x$, $s_y$, $s_z$ } = { $E$, p, f, s }
$E$ è l'energia.
p è il vettore quantità di moto :
(17)
f è il vettore di passaggio [1].
(18)
s è una matrice antisimmetrica (3,3), le cui componenti indipendenti sono
(19)
{ $s_x$, $s_y$, $s_z$ }
La quantità di moto può essere disposta in forma matriciale [1], con :
(20)
e :
(21)
Introduciamo il quadrivettore quantità di moto-energia :
(22)
(23)
o ancora :
(24)
Successivamente, l'azione coaggiunta del gruppo di Poincaré può essere scritta in forma matriciale :
(25)
In modo più esplicito :
(26)
…È interessante studiare l'effetto delle diverse componenti del gruppo di Poincaré completo sulle componenti del suo spazio delle quantità di moto. Si può concentrare su matrici particolari :
(27)
A è la matrice di Lorentz associata.
L'azione coaggiunta dà :
(28)
(29)
dove $I_4$ è la componente neutra del gruppo di Poincaré completo.
L'azione coaggiunta corrispondente è :
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
— che inverte lo spazio. L'azione coaggiunta corrispondente è :
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— che inverte il tempo. L'azione coaggiunta corrispondente è :
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— che inverte sia lo spazio che il tempo. L'azione coaggiunta corrispondente è :
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
Come sottolineato da J.M. Souriau [1], le due componenti
\begin{pmatrix} E \ \mathbf{p} \end{pmatrix}
vengono accompagnate dall'inversione dell'energia $E \mapsto$ –$E$, il che implica l'inversione della massa $m \mapsto$ –$m$.
Definiamo i seguenti insiemi di matrici :
(30)
