f4203 Geometrizzazione della materia e dell'antimateria attraverso l'azione coadiacente di un gruppo sul suo spazio dei momenti. 1 : Cariche come componenti scalari aggiuntive del momento di un gruppo che agisce su uno spazio a 10 dimensioni. Definizione geometrica dell'antimateria. (p3) Il gruppo completo di Poincaré è :
(31) Gp = Gn U Gs U Gt U Gst
La componente neutra Gn è il primo sottogruppo. Il gruppo ortocrono [1] :
(32) Go = Gn U Gs
è anche un sottogruppo del gruppo di Poincaré.
La parte anticrona del gruppo [1] :
(33) Gac = Gt U Gst non è un gruppo. Evidentemente :
(34) Gp = Go U Gac
...Come indicato in [1], la presenza degli elementi di Gac = Gt U Gst può produrre particelle di massa negativa, come movimenti particolari della materia, che si svolgono all'indietro nel tempo. Nel suo libro [1], J.M. Souriau propone due soluzioni :
-
Oppure si decide semplicemente che le masse negative non possono esistere.
-
Oppure il gruppo di Poincaré è limitato al suo sottogruppo ortocrono.
(35) Go = Gn U Gs
2) Estensione centrale del gruppo di Poincaré. (36)
è l'estensione centrale del gruppo di Poincaré, costruita a partire dal sottogruppo ortocrono. L'azione corrispondente è : (37)
z è una dimensione aggiuntiva, una quinta dimensione. La dimensione del gruppo diventa 11 e il momento acquista una componente aggiuntiva corrispondente :
(38) Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
L'azione coadiacente dà : (39)
...Il significato fisico di questa undicesima componente c non è mai stato chiaramente compreso. Grazie al suo metodo di quantizzazione geometrica, J.M. Souriau mostra che lo spin deve essere quantizzato [1]. Scegliendo un sistema di coordinate in cui il passaggio diventa nullo, e considerando solo i movimenti lungo z, la matrice del momento Jp diventa :
(40)
dove E è l'energia, p il modulo del vettore quantità di moto e s lo spin.
I fotoni corrispondono a
(41)
con due diverse elicità : destra e sinistra (polarizzazione).
I neutrini corrispondono a :
(42)
con anche due diverse elicità.
Le particelle di massa non nulla come il protone, l'elettrone, il neutrone, corrispondono a :
(43)
con : (44)
(45))
...Dalla gruppo di Poincaré esteso (36), attraverso il metodo di Kostant-Kirilov-Souriau, si può derivare [1] l'equazione quantistica relativistica di Klein-Gordon. In modo simile [1], il gruppo di Bargmann non relativistico (1960) dà l'equazione di Schrödinger non relativistica.
E l'antimateria?
...In un libro precedente [2], J.M. Souriau ha sviluppato la relatività generale in cinque dimensioni, aggiungendo una dimensione aggiuntiva z allo spazio-tempo (x, y, z, t)
...Poi, riferimento [2], Capitolo VII, pagina 413, identifica l'inversione della quinta dimensione (z ---> -z) alla coniugazione di carica (o inversione di carica, o simmetria C), trasformando la materia in antimateria.
Versione originale (inglese)
f4203 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. (p3) The complete Poincaré group is :
(31) Gp = Gn U Gs U Gt U Gst
The neutral component Gn is the first sub-group. The orthochron group [1] :
(32) Go = Gn U Gs
is also a sub-group of the Poincaré group.
The antichron part of the group [1] :
(33) Gac = Gt U Gst is not a group. Obvioulsy :
(34) Gp = Go U Gac
...As pointed out in [1] the presence of the elements of Gac = Gt U Gst may produce negative mass particles, as peculiar movements of matter, runing backward in time. In his book [1] J.M.Souriau suggests two solution :
-
Either one simply decides that negative masses cannot exist.
-
Either the Poincaré group is limited to its orthochron subgroup.
(35) Go = Gn U Gs
2) The central extension of the Poincaré group. (36)
is the central extension of the Poincaré group, built from the orhochron sub-group. The corresponding action is : (37)
z is an additional dimension, a fifth dimension. The dimension of the group becomes 11 and the momentum gets a corresponding extra component :
(38) Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
The coadjoint action gives : (39)
...The physical meaning of this 11th component c was neven clearly undestood. Through his geometric quantification method, J.M.Souriau shows than the spin must be quanticized [1]. Choosing a coordinate system in which the passage becomes zero, and considering only z-motions, the Jp the momentum matrix becomes :
(40)
where E is the energy, p the modulus of the vector impulsion and s the spin.
Photons correspond to
(41)
with two distinct helicities : right and left (polarization).
Neutrinos correspond to :
(42)
with also two distinct helicities.
Non zero mass particles like proton, electron, neutron, correspond to :
(43)
with : (44)
(45))
...From the extended Poincaré group (36), through the Kostant-Kirilov-Souriau method one can derive [1] the relativistic quantum Klein-Gordon equation. Similarly [1] the non-relativist Bargmann group (1960) gives the non-relativistic Schödinger equation.
What about antimatter ?
...In a former book [2] J.M. Souriau developped general relativity in five dimensions, adding an extra dimension z to space-time ( x , y , z , t )
...Then, reference [2], Chater VII , page 413, he identifies the inversion of the fifth dimension ( z ---> - z ) to the charge conjugation ( or charge inversion, or C-symmetry ) transforming matter into anti-matter.