a702 L'opera di J.M. Souriau sul sistema solare. ** **
...Questo lavoro è stato presentato da J.M. Souriau nel 1989, in un incontro scientifico dedicato alla gravitazione, tenutosi a Genova, in Svizzera. Il titolo dell'articolo era: Fenomeni risonanti e non risonanti nel sistema solare
...Souriau parte dall'analisi dei periodi orbitali dei diversi pianeti. La Terra gira intorno al Sole in 365 giorni. La durata dell'anno venusiano è di 225 giorni. Da questi due numeri, Souriau costruisce una successione di Fibonacci (dove ogni termine è la somma dei due precedenti). Sappiamo che il rapporto tra termini consecutivi tende al numero d'oro. Li confronta con i periodi orbitali. ** **
30 Sole (29 giorni) 55 niente 85 Mercurio (88 giorni) 140 niente 225 Venere 365 Terra. 590 (1 anno e 7 mesi): Marte (1 anno e 10 mesi) 955 niente 1545 (4 anni e 3 mesi): Cerere-Pallade (cintura degli asteroidi) 2500 niente 4045 (11 anni): Giove (11 anni e 10 mesi) 6545 niente 10590 (29 anni): Saturno (29 anni e 5 mesi) 17135 niente 27725 (76 anni) Urano (84 anni) 44860 niente 72585 (199 anni) Nettuno (165 anni), Plutone (248 anni)
...Poi studia le risonanze nei coppie di pianeti. I matematici (Liouville, Hurwitz, Borel) hanno stabilito un test matematico, una "misura del livello di irrazionalità di un numero dato", indicando "quanto si allontana" da una frazione razionale, dal rapporto di due numeri interi. (a701)
Borel introduce il numero: q (x, q) = (denominatore)² * | x - q |
q(x) è il limite inferiore, quando q assume valori razionali.
q tende a zero se x è vicino a un numero razionale. Si ottiene una curva che mostra la misura di irrazionalità q(x) di un numero dato x. Tra tutti i valori possibili, due numeri sono i più irrazionali: il numero d'oro: (a702)
- e il suo quadrato: w² = 1 - w = 0,3820...
come si può vedere nel diagramma seguente. (a703)
Fig.1 : Diagramma q(x) che mostra i suoi due picchi caratteristici corrispondenti al numero d'oro e al suo quadrato.
Questa funzione q(x), che non ha nulla a che fare con nessun elemento osservato, è un oggetto puramente matematico. Le lacune visibili corrispondono alle frazioni razionali (q = 0).
Poi: i periodi orbitali, l'unità è l'anno terrestre.
Mercurio : 0,2408425
Venere : 0,6151866
Terra : 1,0000000
Marte : 1,8808155
Cerere-Pallade : 4,604
Giove : 11,86178
Saturno : 29,45665
Urano : 84,0189
Nettuno : 164,765
Plutone : 247,68
Calcolare il rapporto dei periodi orbitali di Nettuno e Plutone. (a704)
...Se si calcola il rapporto di due periodi consecutivi, si osserva che questi rapporti si trovano tra 1/3 e 2/3. Cinque rapporti si trovano tra 0,35 e 0,40. La coppia Nettuno-Plutone è quindi risonante.
Souriau applica il test menzionato sopra alle coppie di pianeti.
Nettuno-Plutone: x = 2/3 × 0,9980 q = 0,01
Urano-Nettuno: x = 1/2 × 1,0199 q = 0,04
Urano-Plutone: x = 1/3 × 1,0176 q = 0,05
Venere-Marte: x = 1/3 × 0,9812 q = 0,06
Giove-Saturno: x = 2/5 × 1,0067 q = 0,07
...Si vede che due pianeti lontani, Nettuno e Plutone, possiedono una risonanza eccezionalmente forte. Souriau decide di trascurare questa coppia particolare nell'analisi successiva, basata sull'analisi di Fourier dei periodi Pj: (a705)
Nella figura seguente è tracciata |F(a)|⁴. (a706)
Figura 2: Funzione F(a)
...Souriau trova due picchi significativi per i valori 0,615 e 0,380, che si adattano molto bene alla curva q(x) della figura 1. Vedi la figura 3. : (a707)
Figura 3.
...Conclude quindi che, nel complesso, il sistema solare è un sistema non risonante, o debolmente risonante. Esegue una trasformata di Fourier inversa (reciproca) per costruire i valori probabili dei periodi orbitali. La trasformata di Fourier inversa (a708)
può essere costruita a partire da linee selezionate ak. Seleziona le due linee particolari: a₁ = w a₂ = w²
Ottiene quindi i seguenti risultati. I valori reali dei periodi orbitali sono indicati. (a709)
Figura 4: Periodo probabile P per i pianeti, basato su uno spettro limitato alle due linee particolari w e w²