Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, università di Roma
**27 settembre
- 25 ottobre 2003**
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Ecco una "superficie Cross Cap"
(così come l'avreste scoperta nelle immagini di realtà virtuale). Essa presenta
due punti cuspidali che sono vertici di una linea di autointersezione. La
si può costruire pizzicando un palloncino con delle mollette per bigodini.
Ma potete anche costruirne delle rappresentazioni poliedriche. Quella in basso
ci interesserà particolarmente.
Nella tavola 4 si trova la cosa più
difficile da imparare. Mi sembra impossibile che qualcuno capisca bene questi
oggetti semplicemente guardando le figure. Costruite dei modellini. In parole
povere, si tira il punto cuspidale C2 verso "l'interno
della superficie" (il che, tra parentesi, non ha alcun senso poiché,
l'avrete senz'altro notato subito, la superficie Cross Cap è unilatera: non
ha una faccia esterna ed una interna). Insistendo, la superficie si "auto-attraversa",
e l'insieme di autointersezione si completa, arrotondando un po' le cose,
con una curva a forma di 8. Si è creato, per inciso, un punto triplo T.
La superficie risulta più comprensibile
nella sua forma poliedrica e, in basso, abbiamo ingrandito certi elementi
per mostrare ciò che ci induce a trasformare questo oggetto in superficie
romana di Steiner (si veda la simulazione di realtà virtuale) la cui forma
poliedrica più semplice consiste nell'assemblare quattro cubi (qui se ne vedono
solo tre).
Tavola 5 : versione poliedrica a sinistra,
tonda a destra. La freccia passa per il punto che andiamo a "strozzare".
Più in basso, l'inizio dell'operazione di strozzamento.
Tavola 6 : lo strozzamento viene effettuato
e crea un punto singolare B. In effetti, dal momento che la strozziamo
da entrambe le parti (tanto per risparmiare tempo), si formano due punti singolari
S1 e S1, poi due punti cuspidali. A questo punto, senza cartoncino
bristol, forbici e nastro adesivo, siete messi male.
Tavola 7 : qui abbiamo semplicemente
fatto migrare i differenti punti cuspidali. Se il punto C2 è "evidente",
avrete sicuramente più difficoltà invece a identificare i punti C3
e C4 come cuspidali. Eppure sono lì, alle estremità di una linea di
autointersezione. Al di sopra del punto C3 si trova semplicemente quello
che ho chiamato un "posicono", un punto, cioè, in cui si concentra
della curvatura positiva (un punto in cui si concentra della curvatura negativa
lo chiamo "negacono"). Deformando un pochettino questo oggetto,
si arriva alla forma poliedrica della superficie romana di Steiner (inventata
da Steiner a Roma; si veda la sua illustrazione in realtà virtuale).
Dunque il gioco è fatto. Esistono vari
tipi di superfici, secondo le regole che uno impone. Le superfici che non
si autointersecano sono dette "embeddings" (della sfera, o del toro
in R3). Quando invece si autointersecano ma il piano tangente
varia in modo continuo senza degenerare, sono dette immersioni. Per
esempio : la bottiglia di Klein, nella sua rappresentazione classica. In R3
non esiste una rappresentazione della bottiglia di Klein sotto forma di embedding:
si autointerseca necessariamente. Le immersioni possiedono degli insiemi di
autointersezione senza punti cuspidali. Questi insiemi sono curve continue,
ma possono incrociarsi in punti doppi o tripli. Osservazione: la sfera si
può realizzare sotto forma di immersione (che non è un embedding) facendola
autointersecare. E' in effetti il modo attraverso il quale si riesce a rovesciarla
(cf. il metodo di A.Phillips, 1967, che ha come passo centrale il rivestimento
doppio di una superficie di Boy; e si veda anche B.Morin e J.P.Petit, 1979,
in cui si prende come modello centrale il modello "a quattro orecchie"
di Morin, di cui qui sotto vedete una rappresentazione poliedrica che ho inventato
una decina di anni fa).
Piano
di montaggio di questo oggetto con carta e forbici
Se si estendono le regole di gioco
accettando che questi oggetti ammettano anche dei punti cuspidali, si ottengono
delle summersioni (la Cross Cap, la superficie romana di Steiner).
Non so se summersione sia il termine sia giusto, ma dato che non ho trovato
alcun matematico che mi possa chiarire le idee al riguardo, ho trovato divertente
inventarmene uno, provvisoriamente, almeno finché un geometra esperto si farà
avanti. Così, la superficie Cross Cap e la superficie romana di Steiner sarebbero
delle summersioni del "piano proiettivo".
Per dirvela tutta, dopo venticinque
anni di attività e le mie delusioni in materia di Magneto-Idrodinamica, avevo
iniziato questi lavori perché mi sembravano i più lontani possibile da qualsiasi
applicazione militare. Ma, come mi fece notare il mio vecchio amico Mihn,
il termine summersione potrebbe prestarsi a confusione e lasciar intendere
alla Marina Militare che attraverso queste ricerche io proverei a nascondere
dei progressi in materia di propulsione sottomarina.
La regola di "creazione-scioglimento"
di coppie di punti cuspidali permette di passare da una summersione di un
oggetto ad un'altra, ed è quello che abbiamo appena fatto, mostrando che la
Cross Cap e la superficie romana di Steiner sono due summersioni dello stesso
oggetto, noto come piano proiettivo. Non cercate di figurarvi un "piano
proiettivo". Questo oggetto si può comprendere solo attraverso varie
rappresentazioni differenti. Quanto al termine "proiettivo", non
è che uno tra i mille inventati dai matematici per sviare coloro che vorrebbero
penetrare nel loro circolo chiuso. Lo Zanichelli non vi sarà di alcuna utilità
in matematica.
Ci resta quindi da vedere come
passare alla superficie di Boy, che è un'immersione del piano proiettivo
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