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: Andrea Sambusetti, università di Roma
Cliccate qui per far
comparire il disegno del modello in scala 1:1, da stampare e ritagliare.
Fotocopiandone quattro esemplari su cartoncino bristol di due colori
differenti, potrete costruire il modello voi stessi,
seguendo le indicazioni per montarlo
Avete senz'altro visto un oggetto bizarro ruotare instancabilmente
sulla parte sinistra della pagina iniziale di questo sito. Di cosa si tratta?
Un giorno, quando troverò il tempo, installerò
su questo sito una descrizione del rovesciamento della sfera, così come
l'avevo illustrata nel numero di Pour la Science del gennaio 1979, cioé...
22 anni fa! Tutto ciò necessiterà di molti dettagli e di un'introduzione.
Cosa vuol dire "rovesciare una sfera"? Una sfera non ha lo stesso
significato per l'uomo comune e per il matematico-geometra. Per l'uomo comune,
non è altro che il luogo dei punti dello spazio situati a una distanza
R da un punto O prefissato. Un geometra continuerà a chiamare "sfera",
invece, anche un oggetto che corrisponde a una "sfera deformata",
come una patata per esempio. Per capire con maggiore precisione questi concetti,
procuratevi il CD di Lanturlu contenente il fumetto "Topologicon".
Ma il matematico va anche un po' più lontano. Una superficie è
detta "regolare" quando in ciascuno dei suoi punti si può definire
un piano tangente. Ciò permette già di pensare ad un'infinità
di deformazioni regolari possibili della sfera, nelle infinite possibili forme
di una patata, variando inoltre in modo arbitrario l'area di tale superficie.
Ciò detto, nel nostro universo fisico una persona che tenti di rovesciare
la sfera (portarne cioè la superficie interna all'esterno) si troverà
di fronte all'impossibilità di riuscire a far auto-attraversare la sua
superficie. Quando si assume questa ipotesi, ovvero si proibisce che la superficie
si autoattraversi o anche solo che si "tocchi", il matematico parla
di embedding della sfera S2. Ma un matematico si permette sempre tutto. Una
sfera è, per lui, un oggetto "virtuale" e non materiale, in
cui l'attraversamento di una falda è considerato possibile. La successione
di disegni qui sotto mostra una sfera che si autoattraversa. Una rappresentazione
del genere, che ammetta cioè degli autoattraversamenti, è detta
un' immersione.
Un'immersione possiede pertanto un insieme di auto-intersezione
(qui si tratta di una semplice curva circolare). Il piano tangente, però,
deve variare in maniera continua. Ciò premesso, quando si guarda il disegno
sopra, si vede bene che l'operazione porta una parte della superficie interna
(rappresentata in verde) all'esterno. Per completare il rovesciamento, bisognerebbe
schiacciare questa specie di budello equatoriale. Qui sembra esserci un problema:
questo schiacciamento distruggerebbe la continuità del piano tangente,
e tale trasformazione conterrebbe quindi un passo che non è un'immersione.
Un giorno un matematico americano, Stephen Smale, dimostrò
che "la sfera S2 possiede una sola classe di immersioni". Questa frase
sibillina aveva come corollario il fatto che si sarebbe dovuti poter passare,
tramite una trasformazione che contenga solo vere immersioni, dalla sfera "standard"
alla sua rappresentazione "antipodale", cioè in cui ogni punto
è scambiato con il suo antipodale: in parole povere... una sfera rovesciata.
Raoul Bott era il capo di Smale. Tanto la dimostrazione formale di questo fatto
sembrava corretta, tanto nessuno sembrava capace di realizzare concretamente
questa operazione di rovesciamento. Bott continuava a chiedere a Smale "mi
faccia vedere come penserebbe di procedere"; al che, Smale, notoriamente
senza peli sulla lingua, rispondeva "non ne ho la più pallida idea".
Smale ottenne in seguito la medaglia Field, l'equivalente del Nobel per la matematica.
Per inciso, vi domanderete forse perché non esista il premio Nobel per
la matematica. La risposta è semplice: sua moglie è scappata con
un matematico.
Le cose restarono così per un bel po' di anni,
finché un matematico americano di nome Anthony Phillips pubblicò
nel 1967, su Scientific American, una prima versione di questo rovesciamento,
estremamente complicata. La seconda fu inventata agli inizi degli anni settanta
dal matematico francese (non vedente) Bernard Morin. Fui il primo a disegnare
la successione delle trasformazioni, che sarà oggetto, come vi ho annunciato,
di un prossimo articolo su questo sito, peraltro ben abbondante. Comunque, tutto
ciò ci porta ad una considerazione. Le superfici possono essere rappresentate
in forma poliedrica. Un cubo o un tetraedro possono essere considerati delle
rappresentazioni poliedriche della sfera, nel senso che questi oggetti hanno
la stessa topologia. Su questo punto, consultate il mio Topologicon. Inoltre
si capisce che, se è possibile rovesciare la sfera, sarà ugualmente
possibile rovesciare un cubo. La trasformazione inventata da Bernard Morin (che
ho illustrato nell'articolo del gennaio 1979 su Pour la Science) passa per un
modello centrale. Esiste una simmetria in questa successione. E' quella che
chiamo "modello centrale a 4 orecchie". Sto anticipando delle cose.
Comunque, come la sfera si presta a rappresentazioni poliedriche, altrettanto
vale per i passi successivi di questa trasformazione. Quello che vedete ruotare
nella mia pagina iniziale è la versione poliedrica del modello centrale
del rovesciamento della sfera, che ho inventato una decina di anni fa. L'interesse
di tali modelli poliedrici sta nel fatto che si possono costruire con delle
superfici piane. Si possono anche costruire con carta e forbici. Date un'occhiata
al disegno qui di seguito (ringrazio tra prentesi il mio amico Christophe Tardy,
che ha prodotto gli elementi della misura giusta).
E' un piano di montaggio di cui avete qui una vista
generale. Ma per stamparlo è preferibile che passiate alla pagina découpage.
Stampatela. Dopodiché, muniti di questo esemplare stampato sulla usuale
carta della vostra stampante, fotocopiatene 4 copie identiche, due su cartoncino
bristol verde, e due in giallo. Sarete in grado, per mezzo di questi fogli da
ritagliare, di costruire il modello centrale del rovesciamento del cubo.
Sugli elementi da ritagliare ci sono coppie di lettere
: a , b c , d , e , f ecc.... E' sufficiente di piegare il foglio portando a
coincidere le stesse lettere, e poi fissare le faccie con del nastro adesivo
trasparente. I disegni che segono mostrano la maniera di montare uno dei quattro
pezzi. Ecco innanzitutto come bisogna iniziare a piegare uno dei quattro elementi
:
Ecco due dei quattro elementi, visti da angoli differenti.
Si sistemano quindi in modo da dar luogo ad un oggetto
con una simmetria di ordine quattro, in ci si alternano elementi verdi e gialli.
Per vederlo in 3d, gettate uno sguardo alla realizzazione di Tardy, alla sezione
"realtà virtuale". Il modello centrale è montato e anche
realizzato in "vrml" in questa sezione. Eccolo riprodotto da vari
punti di vista :
Non si può dire che un punto di vista corrisponda
al "sopra" e l'altro al "sotto", dal momento che queste
denominazioni sono perfettamente arbitrarie. Nell'immagine di sinistra, il punto
"centrale" corrisponde al "punto doppio" (in cui due falde
si incrociano) del modello centrale di Morin, mentre il punto centrale dell'immagine
a destra corrisponde al "punto quadruplo" dello stesso modello (in
cui quattro falde si incrociano). Ho dovuto orientare l'oggetto con molta attenzione,
in modo che la figura di sinistra non evochi una svastica. A parte ciò,
dal punto di vista architetturale, questa rappresentazione poliedrica del modello
centrale di Morin avrebbe potuto costituire un bel progetto di Casa della Cultura
Nazionale Socialista.
Un'ultima osservazione : non esiste una buona rappresentazione
poliedrica del rovesciamento della sfera (ovvero del cubo). Per "buona"
intendo una successione di modelli abbastanza espliciti che possano essere descritti
sotto forma di fogli da ritagliare in modo relativamente facile, come il modello
sopra. Ci sarebbe da fare uno studio in questa direzione, alla portata di chiunque,
anche un non-matematico, per esempio uno scultore. Più di vent'anni fa
ero insegnante di scultura alla Ecole des Beaux-Arts di Aix en Provence, al
tempo in cui era direttore il mio caro amico Jacques Boullier. E' in quei locali
che nacque la prima rappresentazione meridiana dell asuperficie di Boy tramite
ellissi, chiave della costruzione della prima equazione implicita data da Apéry.
Devo dire che già all'epoca fui sorpreso dall'immaginazione geometrica
degli studenti d'arte, che superava spesso quella dei... geometri.
Contatore installato il 31 dicembre 2001. Numero di
connessioni :