Trasformazione della Crosscap in superficie di Boy, attraverso la superficie di Steiner Romana
Come trasformare una crosscap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta) passando per la superficie di Steiner Romana.
**27 settembre - 25 ottobre 2003 **
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Tutto questo, come direbbe Kipling, è "grande trucco e forte magia".
Sono in pensione ma, potrei dire, faccio ancora un po' di ricerca, nonostante me ne voglia, come altri allineano file di maglieria. Se avete pazienza e vi procurate fogli di cartone da 200 g quadrettati potrete facilmente ricostruire tutti questi modelli. Il mio amico Christophe Tardy sta preparando un'animazione a partire da questo, che dovrebbe essere molto bella.
La Cross cap apparirà nei disegni che seguiranno, così come la superficie di Steiner Romana. Ma potete scoprirli andando nella sezione Realità Virtuale, che richiede che abbiate scaricato Cosmoplayer sul vostro computer. Fatelo, è veramente bello. Tutto si gioca grazie ai "punti cuspidali". Questi punti si formano naturalmente quando salite su un cavallo e stringete le gambe con un colpo secco. Il corpo del cavallo si trova allora schiacciato lungo un segmento. La coscia sinistra si unisce allora alla spalla destra, mentre la coscia destra si unisce alla spalla sinistra. Per quanto riguarda il punto cuspidale, non cercatelo: siete semplicemente seduti sopra;
Ma tutto questo è... rotondo. Passiamo a una "rappresentazione poliedrica" del punto cuspidale (così come un cubo o un tetraedro possono essere considerati rappresentazioni poliedriche di una semplice sfera). La linea spessa rappresenta la "curva di auto-intersezione", terminata comunque dal punto cuspidale C.
Stampate queste tavolette, è meglio. In seguito dovrete riconoscere un punto cuspidale in "diverse configurazioni" e non confonderlo con un semplice vertice del poliedro. Costruite se avete il coraggio questi diversi oggetti con il cartone, li capirete meglio. Di seguito abbiamo un'operazione essenziale, detta di "creazione-distruzione di una coppia di punti cuspidali". Il primo disegno rappresenta una sorta di cilindro che si sovrappone a se stesso lungo la linea spessa e la cui sezione ricorda la lettera greca gamma, a testa in giù. Si deforma poi questa superficie premendo il tubo la cui sezione ha la forma di una "lacrima a testa in giù". Questa lacrima si degrada in un punto S. Poi questo punto si divide in due punti cuspidali. È la creazione di una coppia. L'operazione inversa fa scomparire due punti cuspidali. Sotto trovate la versione poliedrica dell'operazione.
Di seguito un'altra rappresentazione poliedrica della trasformazione che è vicina a ciò che vedrete verificarsi nella superficie in seguito.
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