Trasformazione della Cross Cap in superficie di Boy, attraverso la superficie di Steiner romana
Come trasformare una crosscap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta) passando attraverso la superficie di Steiner romana.
**27 settembre - 25 ottobre 2003 **
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Ecco una Cross Cap (come l'avrete scoperta nelle immagini della realtà virtuale). Ha due punti cuspidali che delimitano una linea di auto-intersezione. Si può costruire schiacciando un palloncino con un ferro da stiro. Ma si possono anche costruire rappresentazioni poliedriche. Quella in basso ci interesserà particolarmente.
Nella tavola 4 si trova il momento più difficile da comprendere. Mi sembra quasi impossibile che chiunque capisca queste figure guardando semplicemente i disegni. Costruite queste modellini. In breve, si tira il punto cuspide C2 verso "l'interno della superficie" (il che non ha alcun senso, poiché, come avrete senza dubbio notato immediatamente, la Cross Cap è unilaterale. Insistendo, la superficie si attraversa da sola e l'insieme di auto-intersezione si completa, in "rondouillard" con una curva a forma di 8. Si crea così un punto triplo T.
La superficie è più comprensibile nella sua forma poliedrica e, in basso, abbiamo ingrandito alcuni elementi per mostrare cosa ci induce a trasformare questo oggetto in una superficie di Steiner romana (vedere la realtà virtuale), la cui forma poliedrica più semplice consiste nell'assemblare quattro cubi (qui ne vediamo solo tre).
Tavola 5: il poliedrico a sinistra, il rondouillard a destra. La freccia prende un passaggio che andremo a "schiacciare". In basso l'inizio dello schiacciamento.
Tavola 6: lo schiacciamento è effettuato creando un punto singolare B. In realtà, poiché schiacciamo da entrambi i lati, per risparmiare tempo; si formano due punti singolari S1 e S1 e due coppie di punti cuspide. Lì, senza cartone, forbici e nastro adesivo, siete in guai.
Tavola 7: abbiamo semplicemente spostato i diversi punti cuspide. Se il punto C2 è "evidente", avrete un po' più di difficoltà a identificare i punti C3 e C4 come punti cuspide. Tuttavia, sono presenti alla fine di una linea di auto-intersezione. Sopra il punto C3 c'è semplicemente ciò che ho chiamato un "posicoin", un punto di concentrazione di curvatura positiva (un punto di concentrazione di curvatura negativa è un "négacoin"). Deformando leggermente questo oggetto si ottiene una forma poliedrica della superficie di Steiner romana (superficie di quarto grado inventata da Steiner a Roma. Vedere la sua presentazione in realtà virtuale).
Quindi, il gioco è fatto. Esistono diversi tipi di superfici, in base alle regole che ci imporremo. Le superfici che non si intersecano da sole sono dette immersioni (della sfera, del toro in R3). Quando si intersecano ma il piano tangente varia in modo continuo, vengono chiamate immersioni. Esempio: la bottiglia di Klein nella sua rappresentazione classica. Non esiste in R3 una rappresentazione della bottiglia di Klein in forma di immersione. Si interseca necessariamente da sola. Le immersioni possiedono insiemi di auto-intersezione esenti da punti cuspide. Queste curve sono continue ma possono intersecarsi dove si trovano punti doppi o tripli. Osservazione: la sfera può presentarsi sotto forma di immersione, semplicemente facendola intersecare da sola. È infatti così che si riesce a capovolgerla (A. Phillips, 1967, con come tappa centrale il rivestimento a due fogli di una superficie di Boy; B. Morin e J. P. Petit, 1979 con come modello centrale il modello a quattro orecchie di Morin, che qui di seguito presento una rappresentazione poliedrica che ho inventato circa dieci anni fa.
Piano per montaggio di questo oggetto
con un taglio
Se si estende la regola del gioco assumendo che questi oggetti possiedano punti cuspide si ottengono delle immersioni (la Cross Cap, la superficie di Steiner romana). Non so se è la parola esatta, ma poiché non ho trovato nessun matematico che possa illuminarmi, ho trovato divertente inventarne una, provvisoriamente, fino a quando un geometra esperto non si farà sentire. Così la Cross Cap e la superficie di Steiner romana sarebbero immersioni del "piano proiettivo".
Per dirvi la verità, dopo i miei problemi con la MHD per venticinque anni avevo iniziato questi lavori perché mi sembravano lontani quanto possibile da qualsiasi applicazione militare. Ma, come ha notato il mio vecchio amico Mihn, la parola immersione potrebbe prestare a confusione e lasciare intendere alla Marina Nazionale che attraverso queste ricerche stessi cercando di nascondere un progresso nel campo della propulsione sottomarina.
La regola della "creazione-decreazione" di coppie di punti cuspide permette di passare da un'immersione di un oggetto a un'altro e questo è esattamente ciò che abbiamo appena fatto mostrando che la Cross Cap e la superficie di Steiner romana sono due immersioni dello stesso oggetto chiamato piano proiettivo. Non cercate di immaginare com'è fatto un "piano proiettivo". Questo oggetto può essere compreso solo attraverso le sue diverse rappresentazioni. Quanto alla parola piano proiettivo, non è che una tra mille altre inventate dai matematici per confondere coloro che vorrebbero entrare nel loro circolo chiuso. Il Larousse non vi sarà di alcun aiuto in matematica.
Ci rimane allora di passare alla superficie di Boy, che è un'immersione del piano proiettivo
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