Trasformazione della Crosscap in superficie di Boy, attraverso la superficie romana di Steiner
Come trasformare una crosscap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta) passando per la superficie romana di Steiner.
**27 settembre 2003 **
pagina 4
Si presenta quindi il modello da un altro angolo :
Tavola 14: Si ripete la stessa operazione creando la terza "orecchia" della curva di auto-intersezione. In poliedrico essa ha la forma di tre quadrati aventi un vertice comune: il punto triplo T .
Tavola 15: facendo girare l'oggetto ritroverete la versione poliedrica della superficie di Boy che avevo proposto e presentato nel Topologicon (dove si trova un taglio che permette di costruirla).
Ultima tavola: ho provato a rappresentare la superficie di Steiner (di quarto grado, mentre la Boy è di sesto) che si contorce e si trasforma in superficie di Boy.
Si vede che in "tondo" ci vuole una buona abilità per capire l'oggetto. Il nostro occhio è molto a disagio quando deve comprendere un oggetto dove, su una stessa linea visiva, si sovrappongono più di due strati. Da qui l'interesse del poliedrico che rende accessibili al comune mortale le trasformazioni considerate sofisticate in geometria, nel momento in cui le persone fanno l'effort di costruire i modelli da sole. Nel passare si osserva che a seconda delle coppie di punti cuspidali scelti si ottiene una superficie di Boy "destra" o "sinistra" (parole totalmente arbitrarie). Il piano proiettivo si immerge in due rappresentazioni "enantiomorfe", in specchio. Si vede che si può passare da una Boy destra a una Boy sinistra attraverso un modello "centrale" che è la superficie romana di Steiner.
Sarebbe senz'altro simpatico che disegni di questo tipo venissero pubblicati su Pour la Science o La Recherche. Ma da venti anni sono "proibito dalla pubblicazione" in queste riviste a causa di deviazionismo ovniesco. Grazie signori Hervé This e Philippe Boulanger. Non conto più gli articoli di questo genere che ho inviato a queste riviste e che mi sono stati cortesemente restituiti. Si finisce per abituarsi al proprio status di escluso.
A titolo anecdotico esiste in Francia un "premio d'Alembert" destinato a premiare autori di libri di divulgazione matematica. La storia mi è stata raccontata da un membro della commissione incaricata di decidere a chi spettasse il premio (c'è comunque un po' di soldi in palio). Dialogo:
-
Ma insomma, non si potrebbe assegnare il premio a Petit? Ha fatto opere notevoli come il Géométricon, il Trou Noir e il Topologicon.
-
Sì, ma non ha fatto solo questi album.
-
A cosa fa riferimento?
-
Ha anche scritto il Mur du Silence.
-
Ah, in questo caso....
Sì, il Mur du Silence, uscito nel 83, è un album dedicato alla MHD. E, come tutti sanno, questa scienza sulfureosa ha il pregio, o la malizia, di permettere alle UFO di evolvere a velocità supersonica senza fare "Bang".
Coprite questa scienza, non la voglio vedere
Ho in magazzino una versione del "rovesciamento del cubo" straordinaria con un modello centrale di grande bellezza, che non è la versione poliedrica della variante di Morin. Tutto di mia creazione. Un giorno o l'altro....
22 ottobre 2003 : Non si affolla molto su queste pagine, se credo al numero del contatore. Ho tenuto il 13 ottobre 2003 un seminario al CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille) su invito di Trotman. In occasione ho potuto esporre una collezione di una trentina di modelli in cartone, che avrete presto la primizia, essendo stati fotografati da Christophe Tardy.
Quando si tiene un seminario, si crea un'atmosfera. Nella foto seguente, un geometra che esprime la sua perplessità.
In primo piano, una parte dei modelli esposti. A un certo punto ho posto la domanda :
*- Quali di voi hanno mai visto una superficie romana di Steiner? Alzate la mano. *
Nessuno ne aveva mai visto. Ho quindi ritenuto utile presentare l'oggetto, in realtà virtuale, sul portatile che avevo portato, oggetto realizzato con il contributo di Christophe Tardy, ingegnere, e di Frédéric Descamp, dell'Istituto Laue Langevin di Grenoble (ILL). Evidentemente questa presentazione ha sconcertato l'auditorio, poco abituato a vedere le superfici matematiche volare a loro piacimento.
Due pannelli di cartone, visibili in primo piano, hanno permesso di presentare la serie dei modelli nel loro ordine logico. I modelli "verde e giallo" illustrano, in poliedrico, l'utile strumento di creazione e distruzione di una coppia di punti cuspidali. L'oggetto bianco più lontano è una versione poliedrica della Cross Cap, che si trasforma dapprima in una versione poliedrica della superficie romana di Steiner, un metro più in là, e poi, a volontà, in una superficie di Boy "destra" o "sinistra".
L'analisi dei modelli ha portato alla luce diverse osservazioni nell'auditorio. Uno dei geometri chiede :
*- Se, seguendo il modello in questo senso, si può passare dalla Cross Cap alla Boy, sembra che facendo il contrario si possa trasformare una Boy in Cross Cap. *
Rispondo affermativamente. Spinto, il mio interlocutore aggiunge :
*- Se, arrivati allo stadio della superficie romana di Steiner, ci si ferma, allora diventa possibile riprendere verso una superficie di Boy in specchio. *
Approvo per la seconda volta. Ma purtroppo nessuno si offrirà per dare chiarimenti su questo mondo strano dove si dotano di immersioni di superfici chiuse di punti cuspidali, creati o annullati a coppie, l'insieme costituendo una sorta di estensione del mondo delle immersioni. La parola "submersioni" mi sembra appropriata. Se un lettore trova chiarimenti su questo, saranno i benvenuti.
Curvatura concentrata in un punto cuspidale
La calcoleremo sommando gli angoli al vertice e confrontando questa somma con la somma euclidea: 2 p .
In alto a sinistra si è rappresentata una delle molteplici rappresentazioni poliedriche del punto cuspidale. Lo "smontaggio" dell'oggetto (a destra) conduce a una somma che supera la somma euclidea 2 p di un valore 2 a . Si deduce quindi che la curvatura angolare concentrata vicino a questo punto C è - 2 a. Se l'angolo a è uguale a p/2, allora la curvatura negativa vale **c **(figura in basso a sinistra). In realtà la curvatura concentrata in un punto cuspidale può assumere un numero infinito di valori. In basso a destra si accentua la somma angolare e la curvatura diventa quindi < 2 a. Si accentua la curvatura negativa.
Operando in modo inverso si può arrivare a una situazione abbastanza sorprendente: far sì che la curvatura (angolare) concentrata in C sia ... nulla :
Ora si può partire da una rappresentazione poliedrica della Crosscap che presenta due punti cuspidali ciascuno con una curvatura negativa uguale a - p :
Ci sono otto "posicoins" corrispondenti a un valore + p/2. Aggiungiamo quattro altri "posicoins" con curvatura + p/4 e quattro "négacoins" con curvatura - p/4
Più i due punti cuspidali con curvatura - p .
Totale: 2 p
Dividendo questa curvatura totale per 2 p si ottiene la caratteristica di Eulero-Poinc...