Modello centrale (poliedrico) del rovesciamento del cubo
Il modello centrale del rovesciamento del cubo
31 dic 2001
Avete tutti visto girare in modo inesauribile un oggetto strano nella parte sinistra della pagina iniziale del sito. Di che si tratta?
Un giorno, quando avrò tempo, installerò sul sito una descrizione del rovesciamento della sfera, come l'avevo illustrato nel numero di gennaio 1979 di Pour la science, cioè ormai... 22 anni fa. Tutto questo richiederebbe ovviamente molti dettagli e un'introduzione. Cosa significa rovesciare una sfera? Una sfera non ha lo stesso significato per un uomo della strada e per un matematico-geometra. Per l'uomo della strada, essa si definisce come l'insieme dei punti che si trovano a una distanza R da un punto fisso O nello spazio a tre dimensioni. Un geometra continuerà a chiamare "sfera" un oggetto che corrisponderebbe a una "sfera deforme", una sorta di "patata". Per comprendere meglio tutti questi concetti, procuratevi il CD Lanturlu che contiene la serie a fumetti "Le Topologicon". Ma il matematico va ancora oltre. Quando una superficie è detta "regolare", si può definire in ciascun punto un piano tangente. Questo permette già di immaginare un'infinità di deformazioni della "sfera di partenza" in un'infinità di patate, quando inoltre l'area di detta superficie può essere qualsiasi. Tuttavia, in un "universo fisico", la persona che deforma questa sfera si scontra con l'impossibilità di farla attraversare da sé stessa. Se tali attraversamenti o addirittura contatti sono vietati, parleremo allora di immersioni della sfera S2. Ma un matematico si dà tutti i diritti. Una sfera, per lui, è un oggetto "virtuale" dove gli attraversamenti di superfici diventano possibili. La serie di disegni che segue mostra una sfera che si è "attraversata da sola". Si chiama allora questa rappresentazione della sfera un'immersione.
Un'immersione possiede un insieme di intersezioni o di auto-intersezioni (qui una semplice curva circolare). Il piano tangente deve variare in modo continuo. Tuttavia, guardando i disegni sopra, si vede che l'operazione gira bene una parte (rappresentata dal colore verde) dell'interno della sfera verso l'esterno. Per completare un tale rovesciamento, bisognerebbe schiacciare questa sorta di "boudin equatoriale". La cosa sembra a priori problematica. Questo schiacciamento romperebbe la continuità del piano tangente. L'operazione comprenderebbe quindi un passo che non sarebbe un'immersione.
Un giorno un matematico americano, Stephen Smale, dimostrò che "la sfera S2 possedeva una sola classe di immersione". Il corollario di questa frase enigmatica era che si doveva poter concatenare una sequenza di immersioni della sfera per passare dalla "sfera standard" alla sua rappresentazione "antipodale", cioè in cui tutti i punti fossero stati sostituiti dai loro antipodi. In breve... una sfera rovesciata, davanti e dietro. Raoul Bott era il supervisore di Smale. Mentre la dimostrazione di quest'ultimo, puramente formale, sembrava inattaccabile, nessuno vedeva come procedere per realizzare l'operazione. Bott diceva sempre a Smale "mostrami come penseresti di procedere", a cui Smale, con il suo famoso capello sulla lingua, rispondeva "non ne ho la minima idea". Smale ricevette poi la medaglia Fields, equivalente al premio Nobel, ma per le matematiche. Nel passare, vi chiederete forse perché Nobel non aveva mai voluto creare un premio Nobel per la matematica. La risposta è semplice: sua moglie era andata via con un matematico.
Le cose rimasero così per parecchi anni fino a quando un matematico americano di nome Anthony Phillips non pubblicò nel 1967 su Scientific American una prima versione di questo rovesciamento, estremamente complessa. La seconda fu inventata all'inizio degli anni sessanta dal matematico francese (cieco) Bernard Morin. Sono stato io il primo a disegnare questa serie di trasformazioni che, come ho già detto, sarà l'oggetto di un prossimo articolo sul sito, abbastanza lungo comunque. In ogni caso, questo ci porta a una conclusione accessoria. Le superfici possono essere rappresentate in modo poliedrico. Un cubo o un tetraedro possono essere considerati rappresentazioni poliedriche della sfera, nella misura in cui questi oggetti hanno la stessa topologia. Su questo punto, consultate la mia BD Le Topologicon. Inoltre, si capirà che se è possibile rovesciare una sfera, è altrettanto possibile rovesciare un cubo. La trasformazione inventata da Bernard Morin (che ho illustrato nell'articolo di gennaio 1979 di Pour la science) passa attraverso un modello centrale. Esiste una simmetria in questa sequenza. Questo è ciò che si chiama "il modello centrale a quattro orecchie". Ancora una volta, anticipo. Ma poiché la sfera può prestarsi a rappresentazioni poliedriche, è lo stesso per le successive fasi di queste trasformazioni. L'oggetto che vedete girare sulla mia pagina iniziale è quindi la versione poliedrica del modello centrale del rovesciamento della sfera, un modello che ho inventato circa dieci anni fa. L'interesse di questi modelli poliedrici è che si possono costruire con superfici piane. Si possono persino disporre secondo tagli. Diamo un'occhiata al disegno seguente (ringrazio nel passaggio il mio amico Christophe Tardy, che ha prodotto gli elementi correttamente quotati).
**Questo è un disegno che uscirebbe dalla vostra stampante in formato ridotto, inutilizzabile. **
Per stampare questa figura su
una pagina A4
Occorre allora farne quattro fotocopie su carta A4 spessa, due fogli di un colore, due fogli di un altro
Questo è un taglio che potete vedere in generale. Ma per stamparlo è preferibile che passiate alla pagina taglio. Stampatela. Poi, muniti di una copia stampata sulla normale carta della vostra stampante, andate in un fotocopiatore e realizzate quattro copie identiche di questo disegno, due su due fogli di cartone verde e due su fogli gialli. Sarete in grado, grazie a questo taglio, di costruire il modello centrale del rovesciamento del cubo.
Sulle vostre parti tagliate avete delle coppie di lettere: a, b, c, d, e, f ecc. Sufficiente operare i piegamenti portando le stesse lettere in coincidenza, quindi assemblare queste facce con nastro adesivo trasparente. I disegni seguenti mostrano come montare uno dei quattro elementi. Ecco prima di tutto come iniziare il piegamento di uno dei quattro elementi:
Ecco due di questi quattro elementi, visti da angoli diversi.
Questi si combinano quindi per dare un oggetto che ha una simmetria di ordine quattro o alternando elementi verdi e gialli. Per vederlo in 3D, andate a guardare le realizzazioni del signor Tardy, in "realità virtuale". Il modello centrale completamente assemblato è anche prodotto in "vrml" in questa sezione. Ecco questo oggetto, visto da diversi angoli :
Non si può dire che una vista corrisponda al "sopra" e l'altra al "sotto" poiché tali denominazioni sarebbero completamente arbitrarie. Nella vista di sinistra il punto "centrale" corrisponde al "punto doppio" (o...