Come trasformare una crosscap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta) passando per la superficie Romana di Steiner.
27 settembre - 25 ottobre 2003
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Tutto questo, come direbbe Kipling, è "grosso artificio e forza magia".
Sono in pensione ma, potrei dire, faccio sempre un po' di ricerca, mio malgrado, come altri allineano file di maglia. Se avete pazienza e vi procurate dei fogli di cartoncino da 200 gr quadrettato potrete facilmente ricostituire tutti questi modelli. Il mio amico Christophe Tardy sta costituendo a partire da ciò un'animazione, che dovrebbe essere niente male.
La Cross cap apparirà nei disegni che seguiranno, così come la superficie Romana di Steiner. Ma potete scoprirle andando nella sezione Virtual Reality, che richiede che abbiate scaricato Cosmoplayer nella vostra macchina. Fatelo, è davvero simpatico. Tutto si gioca grazie ai "punti cuspidali". Questi punti si formano del tutto naturalmente quando montate su un cavallo e stringete le gambe di colpo. Il corpo del cavallo si trova allora schiacciato secondo un segmento. La sua coscia sinistra si raccorda allora con la sua spalla destra, mentre la sua coscia destra si raccorda con la sua spalla sinistra. Quanto al punto cuspidale, non cercatelo: siete semplicemente seduti sopra;
Ma tutto questo è... un po' rotondetto. Passiamo a una "rappresentazione poliedrica" del punto cuspidale (così come un cubo o un tetraedro possono essere considerati rappresentazioni poliedriche di una semplice sfera). Il tratto grosso figura la "curva di auto-intersezione", terminata d'altronde dal punto cuspidale C.
Stampate queste tavole, sarà meglio. In quanto seguirà vi sarà necessario riconoscere un punto cuspidale in "differenti configurazioni" e non confonderlo con un semplice vertice del poliedro. Costruite se ne avete il coraggio questi differenti oggetti con del cartone, li comprenderete meglio. Qui di seguito abbiamo un'operazione essenziale, detta di "creazione-distruzione di una coppia di punti cuspidali". Il primo disegno rappresenta una sorta di cilindro che si interseca da sé secondo il tratto grosso e la cui sezione evoca la lettera greca gamma, rovesciata. Si deforma allora questa superficie pizzicando il tubo la cui sezione ha la forma di una "lacrima rovesciata". Questa lacrima degenera secondo un punto S. Poi questo punto si sdoppia dando due punti cuspidali. È la creazione di una coppia. L'operazione inversa fa annichilire due punti cuspidali. Sotto trovate la versione poliedrica dell'operazione.
Qui di seguito un'altra rappresentazione poliedrica della trasformazione che è vicina a ciò che vedrete accadere nella superficie in seguito.
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