Come trasformare una crosscap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta) passando per la superficie romana di Steiner.
27 settembre - 25 ottobre 2003
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Ecco una Cross Cap (così come l'avrete scoperta nelle immagini di realtà virtuale).
Comporta due punti cuspidali che delimitano una linea di auto-intersezione.
La si può fabbricare pizzicando un palloncino con un ferro arricciacapelli.
Ma potete anche costruirne delle rappresentazioni poliedriche.
Quella in basso ci interesserà particolarmente.
In questa tavola 4 si colloca il momento
più difficile da comprendere. Mi pare quasi
impossibile che il primo venuto capisca queste figure guardando
semplicemente i disegni. Costruite questi modelli. In chiaro si tira il punto
cuspidale C2 verso "l'interno della superficie"
(il che, per inciso, non ha alcun senso poiché, l'avrete senza dubbio notato
immediatamente, la Cross Cap è unilatera. Insistendo, la superficie
si auto-attraversa e l'insieme di auto-intersezione si completa, in modo "rotondetto",
con una curva a forma di 8. Nel frattempo si crea un punto triplo T.
La superficie è più comprensibile
nella sua forma poliedrica e, in basso, abbiamo ingrandito alcuni elementi
per mostrare ciò che ci induce a trasformare questo oggetto in Superficie Romana
di Steinder (vedi la realtà virtuale) la cui forma poliedrica
più semplice consiste nell'assemblare quattro cubi (qui se ne vedono solo
tre).
Tavola 5: Il poliedrico a
sinistra, il rotondetto a destra. La freccia imbocca un passaggio
che si andrà a "pizzicare". In basso l'inizio del pizzicamento.
Tavola 6: il pizzicamento è effettuato
creando un punto singolare B. In realtà, poiché si pizzica da entrambi
i lati, tanto per guadagnare tempo, si formano due punti singolari
S1 e S1 e poi due paia di punti cuspidali. Qui, senza
cartoncino, forbici e nastro adesivo, siete nei guai.
Tavola 7: si è semplicemente fatto migrare
i diversi punti cuspidali. Se il punto C2 è "evidente"
avrete un po' più di difficoltà a identificare i punti C3 e C4
come punti cuspidali. Sono tuttavia presenti all'estremità di una
linea di auto-intersezione. Al di sopra del punto C3 si trova semplicemente
quello che ho chiamato un "posiangolo", un punto di concentrazione
di curvatura positiva (un punto di concentrazione di curvatura negativa
è un "negangolo"). Deformando un pochino questo oggetto si
incappa in una forma poliedrica della superficie romana di Steiner (superficie
di 4° grado inventata da Steiner a Roma. Vedi
la sua presentazione in realtà virtuale).
Dunque, il gioco è fatto. Esistono
diversi tipi di superfici, a seconda delle regole che ci si impone.
Le superfici che non si intersecano tra loro sono dette immersioni
(della sfera, del toro in R3). Quando si intersecano ma
il piano tangente varia con continuità le si chiama immersioni.
Esempio: la bottiglia di Klein nella sua rappresentazione classica. Non
esiste in R3 alcuna rappresentazione della bottiglia di Klein
sotto forma di immersione. Essa necessariamente si interseca con se stessa.
Le immersioni possiedono insiemi di auto-intersezione privi
di punti cuspidali. Queste curve sono continue ma possono incrociarsi
dove si trovano punti doppi o tripli. Osservazione: la
sfera può presentarsi sotto forma di un'immersione, facendola
semplicemente intersecare con se stessa. È d'altronde così che si
riesce a rivoltarla (A.Phillips, 1967, con come tappa centrale
il rivestimento a due fogli di una superficie di Boy; B.Morin e
J.P.Petit, 1979 con come modello centrale il modello a quattro
orecchie di Morin, di cui qui di seguito una rappresentazione poliedrica
che ho inventato una decina d'anni fa.
Schema per il montaggio di questo oggetto
mediante un ritaglio
Se si estende la regola del gioco
supponendo che questi oggetti possiedano punti cuspidali si ottengono
delle sommissioni (la Cross Cap, la Superficie Romana di Steiner). Non
so se sia il termine esatto, ma poiché non ho trovato alcun matematico
che potesse illuminarmi ho trovato divertente inventarne uno, provvisoriamente,
finché un geometra esperto non si manifesti. Così
la Cross Cap e la Superficie Romana di Steiner sarebbero delle sommissioni del "piano
proiettivo".
Per dirvi tutto, dopo i miei dispiaceri
in materia di MHD su venticinque anni avevo intrapreso
questi lavori perché mi sembravano il più lontano possibile
da ogni applicazione militare. Ma, come faceva notare il mio vecchio
amico Mihn, il termine sommissione potrebbe prestarsi a confusione e lasciar
sottintendere alla Marina Nazionale che attraverso queste ricerche
tentassi di nascondere qualche progresso in materia di propulsione
sottomarina.
La regola di "creazione-distruzione"
di coppie di punti cuspidali permette di passare da una sommissione di un oggetto a
un'altra ed è ciò che abbiamo appena fatto mostrando che la Cross Cap
e la Superficie Romana di Steiner erano due sommissioni di uno stesso
oggetto chiamato piano proiettivo. Non cercate di capire che aspetto abbia
un "piano proiettivo". Questo oggetto può essere compreso solo
attraverso le sue diverse rappresentazioni. Quanto alla parola piano proiettivo
non è che una tra mille altre inventate dai matematici
per sviare coloro che volessero penetrare nel loro circolo
chiuso. Il Larousse non vi sarà di alcuna utilità in matematica.
Non ci resta allora che passare alla superficie di
Boy, che è un'immersione del piano proiettivo
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di una Cross Cap in Boy"
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