Come trasformare una crosscap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta) passando per la superficie Romana di Steiner.
27 settembre 2003
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Si presenta allora il modello sotto un altro angolo:
Tavola 14: Si riedita la stessa operazione creando la terza "orecchia" della curva di auto-intersezione. In poliedrico questa ha la forma di tre quadrati aventi un vertice comune: il punto triplo T.
Tavola 15: facendo ruotare l'oggetto ritrovate la versione poliedrica della superficie di Boy che avevo inventato e presentato nel Topologicon (dove si trova un ritaglio che permette di costruirla).
Ultima tavola: ho cercato di raffigurare la superficie di Steiner (di 4° grado, mentre la Boy è di sesto) mentre si contorce e si trasforma in superficie di Boy.
Si vede che in versione "rotondetta" ci vuole una bella abitudine per capire l'oggetto. Il nostro occhio è molto a disagio quando si tratta di comprendere un oggetto in cui, su una stessa linea di vista, si sovrappongono più di due falde. Da qui l'interesse del poliedrico che mette alla portata di tutti trasformazioni considerate sofisticate in geometria, nella misura in cui le persone fanno lo sforzo di costruire i modelli da soli. Di passaggio si nota che secondo le coppie di punti cuspidali scelte si ottiene una superficie di Boy "destra" o "sinistra" (parole del tutto arbitrarie). Il piano proiettivo si immerge secondo due rappresentazioni "enantiomorfe", in specchio. Si vede che si può passare da una Boy destra a una Boy sinistra per mezzo di un modello "centrale" che è la superficie Romana di Steiner.
Sarebbe senza dubbio simpatico che tali disegni fossero pubblicati su Pour la Science o La Recherche. Ma da vent'anni sono "interdetto dalla pubblicazione" in queste riviste per causa di deviazionismo ovniesco. Grazie signori Hervé This e Philippe Boulanger. Non conto più gli articoli di questo genere che ho inviato a queste riviste e che mi sono stati educatamente restituiti. Si finisce per abituarsi al proprio status di scomunicato.
A titolo aneddotico esiste in Francia un "premio d'Alembert" destinato a ricompensare autori di libri di divulgazione in matematica. La storia mi è stata raccontata da un membro della commissione incaricata di determinare a chi dovesse andare il premio (ci sono comunque alcuni soldi in palio). Dialogo:
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Ma insomma, non si potrebbe assegnare il premio a Petit? Ha fatto opere notevoli come il Géométricon, il Trou Noir e il Topologicon.
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Sì, ma non ha fatto solo questi album.
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A cosa alludete?
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Ha anche scritto il Mur du Silence.
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Ah, in queste condizioni....
Eh sì, il Mur du Silence, apparso nell'83, è un album dedicato alla MHD. E, come tutti sanno, questa scienza sulfurea ha per virtù, o per malizia, di permettere ai dischi volanti di evolvere a velocità supersonica senza fare Bang.
Nascondete questa scienza, che non saprei vedere
Ho nei miei cartoni una versione del "rovesciamento del cubo" superba con un modello centrale di tutta bellezza, che non è la versione poliedrica della variante di Morin. Tutto di mia invenzione. Uno di questi quattro.....
22 ottobre 2003: Non ci si accalca su queste pagine, se credo al numero del contatore. Lunedì 13 ottobre 2003 ho tenuto un seminario al CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille) su invito di Trotman. In occasione ho potuto allineare una collezione di una trentina di modelli in cartone, di cui avrete un giorno prossimo la primizia, essendo stati questi fotografati da Christophe Tardy.
Quando si tiene un seminario, si sprigiona un'atmosfera. Nella foto seguente, un geometra che esprime la sua perplessità.
Sullo sfondo, una parte dei modelli esposti. A un certo punto ho posto la domanda:
- Quelli che hanno già visto una superficie Romana di Steiner? Alzino la mano.
Nessuno ne aveva mai vista una. Ho quindi giudicato utile presentare l'oggetto, in realtà virtuale, sul portatile che avevo portato, oggetto realizzato con la collaborazione di Christophe Tardy, ingegnere, e di Frédéric Descamp, dell'Institut Laue Langevin di Grenoble (ILL). Visibilmente questa presentazione sconcerta l'assistenza, poco abituata a vedere le superfici matematiche volteggiare a volontà.
Due pannelli di cartone, visibili in primo piano, avevano permesso di presentare la sequenza dei modelli nel loro ordine logico. I modelli "verde e giallo" illustrano, in poliedrico, lo strumento essenziale di creazione-distruzione di una coppia di punti cuspidali. L'oggetto bianco più distante è una versione poliedrica della Cross Cap, che si trasforma dapprima in versione poliedrica della superficie Romana di Steiner, un metro più in là, poi, a volontà, in superficie di Boy "destra" o "sinistra".
L'analisi dei modellini fa emergere diverse osservazioni nell'assistenza. Uno dei geometri chiede:
- Se, seguendo i modellini in questo senso, si può passare dalla Cross Cap alla Boy, sembra che facendo l'inverso si debba poter trasformare una Boy in Cross Cap.
Rispondo affermativamente. Incoraggiato, il mio interlocutore aggiunge:
- Se, arrivando allo stadio della superficie Romana di Steiner, ci si ferma, diventa allora possibile riprendere verso una superficie di Boy in specchio.
Approvo una seconda volta. Ma ahimè nessuno si proporrà per dare chiarimenti su questo mondo strano in cui si dotano immersioni di superfici chiuse di punti cuspidali, creati o annichiliti a coppie, l'insieme costituendo una sorta di estensione del mondo delle immersioni. La parola "sommersione" mi parrebbe elegante. Se un lettore mette le mani su dei chiarimenti, saranno benvenuti.
Curvatura concentrata in un punto cuspidale
La si calcolerà sommando gli angoli al vertice e confrontando questa somma con la somma euclidea: 2 p.
In alto e a sinistra si è fatta figurare una delle molteplici rappresentazioni poliedriche del punto cuspidale. Il "montaggio" dell'oggetto (a destra) conduce a una somma eccedente la somma euclidea 2 p di un valore 2 a. Se ne deduce che la curvatura angolare concentrata in prossimità di questo punto C è - 2 a. Se l'angolo a è uguale a p/2 allora la curvatura negativa vale c (figura in basso e a sinistra). In fatto la curvatura concentrata in un punto cuspidale può prendere un'infinità di valori. In basso e a destra si accentua la somma angolare e la curvatura diventa allora < 2 a. Si accentua la curvatura negativa.
Operando in maniera inversa si può sfociare in una situazione abbastanza sorprendente: fare in modo che la curvatura (angolare) concentrata in C sia ... nulla:
Si può partire ora da una rappresentazione poliedrica della Crosscap in cui figurano due punti cuspidali corrispondenti ciascuno a una curvatura negativa uguale a - p:
Ci sono otto "posicoin" corrispondenti a un valore + p/2. Aggiungiamo altri quattro "posicoin" di curvatura + p/4 e quattro "negacoin" di curvatura - p/4
Più i due punti cuspidali di curvatura - p.
Totale: 2 p
Dividendo questa curvatura totale per 2 p si ritrova la caratteristica di Euler-Poincaré di tutte le rappresentazioni del piano proiettivo (come la superficie di Boy).
Nel corso della mia conferenza ho evocato l'arte e la maniera di permutare i due punti cuspidali di una Cross Cap, utilizzando il rovesciamento della sfera. Non ricordo più se ho messo ciò da qualche parte nel mio sito. È un tale caos. Dovrò cercare, altrimenti metterò ciò da qualche parte. È abbastanza divertente. Sta di fatto che questa prestazione non piacque granché a uno dei presenti, durante il seminario.
- Non vedo perché Petit faccia uso di un tale armamentario per dimostrare la simmetria che unisce i due punti cuspidali di una Cross Cap. C'è molto più semplice.
E tracciò alla lavagna l'immagine di una sfera schiacciata da due righelli che si rendono contigui e che dà effettivamente un insieme di auto-intersezione sotto forma di un segmento bordato da due punti cuspidali, come è il caso della Cross Cap. Ahimè, e il nostro uomo se ne accorse, non è una Cross Cap.
- Diamine, ma allora cos'è? Chiese qualcuno.
È semplicemente una sfera, munita di due punti cuspidali. Se li si fa confluire si ottiene una linea di auto-intersezione che diventa allora un semplice cerchio. E si ottiene in basso e a sinistra (in sezione) un'immersione della sfera che non si ha che da trasformare nel suo incollamento. Si può inoltre passare a una rappresentazione poliedrica di questa superficie:
È bilatera e la curvatura è 2 p.
Ci si può dunque divertire parecchio con queste "sommersioni". Prendiamo un'immersione del toro che consiste nel far ruotare il segno "infinito" o un "otto", attorno a un asse.
La tecnica di confluenza dei punti cuspidali ci permetterà di arrivare molto rapidamente all'incollamento standard del toro, come indicato nella sequenza dei disegni.
Ma le cose a volte non si rivelano così facili ed evidenti. Prendo per esempio una sfera che schiaccio tra due segmenti che, questa volta, hanno lunghezze inferiori al diametro. Si ottengono ancora due punti cuspidali.
Poiché vi si può inscrivere un nastro di Moebius questa superficie è unilatera. Si è fatta figurare la sua rappresentazione poliedrica che permette di calcolare la sua curvatura totale. Si trova allora zero. Se non mi sbaglio sarebbe allora una bottiglia di Klein. In genere si conosce solo l'immersione più classica in cui la linea di auto-intersezione è un semplice cerchio. Ma ce ne sono altre, come questa. Confesso che non ho ancora trovato come trasformare l'oggetto qui sopra in un'immersione della bottiglia di Klein. D'altronde non so se le diverse immersioni rientrino nello stesso gruppo di omotopia (la sfera ne ha uno solo). A priori no, poiché il toro può essere immerso in quattro maniere differenti, che non si possono collegare tra loro mediante un'omotopia regolare. Nell'attesa mi sono divertito a trasformare questa superficie creando due punti cuspidali supplementari e si ottengono allora Due Cross Cap collegate da un tubo. Scomponendole si ritrova una caratteristica di Euler Poincaré uguale a zero.
Questa "superficie strana" dovrebbe poter trasformarsi in una delle immersioni della bottiglia di Klein. Ma quale? In ogni caso eccone una ottenuta facendo ruotare l'"Otto" attorno a un asse e facendogli operare in più un mezzo giro:
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Numero di consultazioni dal 6 ottobre 2003: