Il modello centrale del rovesciamento del cubo
31 dic 2001
Avete tutti visto girare, instancabilmente, uno strano oggetto sulla parte sinistra della pagina iniziale del sito. Di cosa si tratta?
Un giorno, quando avrò tempo, installerò sul sito una descrizione del rovesciamento della sfera, così come l'avevo illustrato nel numero di gennaio 1979 di Pour la science, vale a dire... 22 anni fa. Tutto ciò richiederebbe ovviamente moltissimi dettagli e un'introduzione. Rovesciare una sfera, che cosa significa? Una sfera non ha lo stesso significato per l'uomo della strada e per il matematico-geometra. Per l'uomo della strada, essa si definisce come, in uno spazio a tre dimensioni, il luogo dei punti situati a una distanza R da un punto fisso O di quello. Un geometra continuerà a chiamare "sfera" un oggetto che corrisponderebbe a una "sfera deformata", una sorta di "patata". Per comprendere tutti questi concetti con maggiore precisione, procuratevi il CD Lanturlu contenente il fumetto "Le Topologicon". Ma il matematico va anche oltre. Quando una superficie è detta "regolare" si può in ciascuno dei suoi punti definire un piano tangente. Ciò permette già di prevedere un'infinità di deformazioni della "sfera di partenza" in un'infinità di patate, quando inoltre l'area della detta superficie può essere qualsiasi. Ciò premesso, in un "universo fisico" la persona che deforma questa sfera si scontrerà con l'impossibilità di farla attraversare da se stessa. Se questi attraversamenti o anche questi contatti sono vietati, si parlerà allora di immersioni della sfera S2. Ma un matematico si concede tutti i diritti. Una sfera è, per lui, un oggetto "virtuale" in cui gli attraversamenti di falde diventano possibili. La serie di disegni che segue mostra una sfera che si è "auto-attraversata". Si chiama allora questa rappresentazione della sfera un'immersione.
Un'immersione possiede un insieme di auto-intersezione o di self-intersezione (qui una semplice curva circolare). Il piano tangente deve variare con continuità. Ciò premesso, guardando i disegni qui sopra, si vede che l'operazione gira effettivamente una parte (rappresentata dal colore verde) dell'interno della sfera verso l'esterno. Per portare a termine un tale rovesciamento bisognerebbe schiacciare questa sorta di budino equatoriale. La cosa sembra a priori problematica. Questo schiacciamento romperebbe la continuità del piano tangente. L'operazione comprenderebbe quindi una tappa che non sarebbe un'immersione.
Un giorno un matematico americano, Stephen Smale, dimostrò che "La sfera S2 possedeva una sola classe d'immersione". Il corollario di questa frase sibillina era che si doveva poter concatenare una sequenza d'immersioni della sfera che permettesse di passare dalla "sfera standard" alla sua rappresentazione "antipodale", vale a dire in cui tutti i punti fossero stati sostituiti dal loro antipode. Insomma... una sfera rovesciata, recto-verso. Raoul Bott era il capo di Smale. Per quanto la dimostrazione di quest'ultimo, puramente formale, sembrasse senza falla, altrettanto nessuno vedeva come fare per realizzare l'operazione. Bott diceva continuamente a Smale "mostratemi come pensate di procedere", al che Smale, con il suo celebre difetto di pronuncia, rispondeva "non ne ho la minima idea". Smale ottenne in seguito la medaglia Fields, equivalente al premio Nobel, ma per la matematica. Per inciso, vi chiederete forse perché Nobel non avesse mai voluto creare un premio Nobel per la matematica. La risposta è semplice: sua moglie se n'era andata con un matematico.
Le cose rimasero in questo stato per parecchi anni, finché un matematico americano di nome Anthony Phillips non pubblicò nel 1967 su Scientific American una prima versione di questo rovesciamento, atrocemente complicata. La seconda fu inventata all'inizio degli anni settanta dal matematico francese (cieco) Bernard Morin. Fui il primo a disegnare questa sequenza di trasformazioni che farà, l'ho già detto, l'oggetto di un prossimo articolo nel sito, piuttosto corposo peraltro. Sta di fatto che ciò ci porta a una conclusione accessoria. Le superfici possono essere oggetto di rappresentazioni poliedriche. Un cubo o un tetraedro possono essere considerati come rappresentazioni poliedriche della sfera, nella misura in cui questi oggetti hanno la stessa topologia. Su questo punto, consultate il mio fumetto il Topologicon. Inoltre, si comprenderà che se è possibile rovesciare una sfera, è ugualmente possibile rovesciare un cubo. La trasformazione inventata da Bernard Morin (che ho illustrato nell'articolo di gennaio 1979 di Pour la Science) passa per un modello centrale. Esiste una simmetria in questa sequenza. È quello che si chiama "il modello centrale a quattro orecchie". Anche qui, anticipo. Ma come la sfera può prestarsi a rappresentazioni poliedriche, lo stesso vale per le tappe successive di queste trasformazioni. L'oggetto che vedete girare sulla mia pagina iniziale è così la versione poliedrica del modello centrale del rovesciamento della sfera, un modello che ho inventato una decina d'anni fa. L'interesse di questi modelli poliedrici è che si possono costruire con superfici piane. Si possono persino disporre secondo dei ritagli. Date un'occhiata al disegno che segue (ringrazio per inciso il mio amico Christophe Tardy, che ne ha prodotto gli elementi correttamente quotati).
Questo è un disegno che uscirebbe dalla vostra stampante in piccolo formato, inutilizzabile.
Per stampare questa figura su un foglio A4
Bisogna allora farne quattro fotocopie su carta forte A4, due fogli di un colore, due fogli di un altro
Questo è un ritaglio di cui avete qui una vista generale. Ma per stamparlo è preferibile che passiate alla pagina ritaglio. Stampatela. Poi, muniti di questo esemplare stampato sulla carta normale della vostra stampante, andate da un fotocopiatore e realizzate quattro copie identiche di questo disegno, due su due fogli di cartoncino verde e due su fogli gialli. Sarete in grado, con l'aiuto di questo ritaglio, di costruire il modello centrale del rovesciamento del cubo.
Avete, su questi elementi ritagliati, delle coppie di lettere: a , b c , d , e , f ecc.... Vi basta operare le piegature portando le stesse lettere in coincidenza, poi assemblando queste faccette con nastro adesivo trasparente. I disegni che seguono mostrano il modo di montare uno dei quattro elementi. Ecco prima come bisogna iniziare la piegatura di uno dei quattro elementi:
Ecco due di questi quattro elementi, visti sotto angoli differenti.
Questi si dispongono poi per dare un oggetto avente una simmetria d'ordine quattro o alternano elementi verdi ed elementi gialli. Per vedere questo in 3d, andate a dare un'occhiata alle realizzazioni del signor Tardy, in "virtual reality". Il modello centrale totalmente assemblato è anche prodotto in "vrml" in questa sezione. Ecco questo oggetto, visto sotto differenti angoli:
Non si può dire che una vista corrisponda al "sopra" e l'altra al "sotto" poiché queste denominazioni sarebbero totalmente arbitrarie. Sulla vista di sinistra il punto "centrale" corrisponde al "punto doppio" (dove due falde si incrociano) del modello centrale di Morin, mentre il punto centrale di destra equivale al "punto quadruplo" di questo stesso modello (dove quattro falde si incrociano). Ho dovuto orientare accuratamente l'oggetto, affinché la figura di sinistra non evochi una croce uncinata. Altrimenti, architettonicamente parlando, questa rappresentazione poliedrica del modello centrale di Morin avrebbe potuto costituire un ottimo progetto di casa della cultura Nazionalsocialista.
Ultima vista:
Un'ultima osservazione: non esiste una buona rappresentazione poliedrica del rovesciamento della sfera (alias il rovesciamento del cubo). Per "buona" bisogna intendere una sequenza di modelli sufficientemente espliciti che possono essere montati sotto forma di ritagli in maniera relativamente facile, come il modello qui sopra. Una ricerca sarebbe da fare in questo senso, che è alla portata di chiunque, eventualmente di un non-matematico, di un plasticista, per esempio. Più di vent'anni fa sono stato insegnante di scultura all'Ecole des Beaux-Arts di Aix en Provence, ai tempi in cui questa era ancora diretta dal mio eccellente amico Jacques Boullier. È in quei locali che nacque la prima rappresentazione meridiana della superficie di Boy con l'aiuto di ellissi, chiave della costruzione della prima equazione implicita di Apéry. Devo dire che all'epoca sono sempre stato sorpreso dall'immaginazione geometrica degli studenti d'arte, che superava molto spesso quella... dei geometri.
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