I quaternioni

La sfera S3 e i quaternioni

BK

Se la sfera S3 assomiglia più al cerchio S1 che alla sfera S2, è perché entrambi corrispondono al gruppo delle unità di un corpo di numeri: il corpo dei numeri complessi per S1 e il corpo dei quaternioni per S3. Ma questo non funziona con S2 perché R3 non è un corpo di numeri.

Per comprendere queste strutture, ricorderò come si fa di R2 un corpo di numeri immergendolo nell'algebra delle matrici quadrate 2×2 a coefficienti reali. Si vedrà poi che una costruzione simile permette di munire R4 di una struttura di corpo (il corpo dei quaternioni) immergendolo nell'algebra delle matrici quadrate 2×2 a coefficienti complessi.

1. Il corpo dei numeri complessi

Sia M2(R) lo spazio delle matrici 2×2 a coefficienti reali. È lo spazio delle matrici

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

dove a,b,c,d sono reali. Si sa:

1. sommare due matrici di M2(R),

2. moltiplicare una matrice di M2(R) per un numero reale,

3. moltiplicare due matrici di M2(R) tra loro.

Per riassumere queste tre proprietà si dice che M2(R) è un'algebra. Essa è di dimensione 4 perché servono 4 parametri per descriverla.

A ogni vettore (x,y) del piano R2, si può associare la matrice quadrata a coefficienti reali

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Si osserva allora che

1. la somma di 2 tali matrici è ancora della stessa forma

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. il prodotto per un reale l di una tale matrice z è ancora di questo tipo

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|---|

3. anche il prodotto matriciale di 2 tali matrici

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

Si è dunque costruito un sottospazio di M2(R), che si indicherà con C, stabile per addizione, moltiplicazione per uno scalare e moltiplicazione matriciale. Si dice che C è una sotto-algebra di M2(R). Essa è di dimensione 2. Si può notare una proprietà importante di questa algebra: essa è commutativa

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

Il determinante di una matrice z Î C si scrive

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

di conseguenza, ogni matrice z in C non nulla è invertibile e la sua inversa

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

appartiene anch'essa a C. Si dice che C è un corpo. Si è appena riscoperto il corpo dei numeri complessi.

La matrice corrispondente al vettore (1,0), è la matrice unità ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

La matrice corrispondente al vettore (0,1), la si indica con i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Essa possiede la proprietà notevole

i

2

=

1

i

2

=

1

Con queste notazioni, si vede che ogni numero complesso si scrive in modo unico

dove x e y sono numeri reali.

Il coniugato di un elemento z in C, lo si definisce come la trasposta della matrice z

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Nel corpo dei numeri complessi ci sono due sottospazi notevoli. Da una parte ci sono i multipli della matrice unità 1, cioè l'insieme delle matrici della forma

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

che è stabile per addizione e moltiplicazione. È l'spazio reale, identico al corpo dei reali e che appare come un sotto-corpo di C. Esso è ugualmente definito dall'equazione

C'è inoltre il sottospazio delle matrici z di traccia nulla (la traccia di una matrice è la somma dei suoi elementi diagonali)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Lo si chiama l'spazio immaginario. Esso è stabile per addizione ma non per moltiplicazione. Si osserva che è ugualmente lo spazio delle matrici 2×2 che sono antisimmetriche.

Con queste definizioni, il prodotto scalare ordinario di due vettori di R2 si calcola facilmente. Se z1 è la matrice corrispondente a (x1,y1) e z2 è la matrice corrispondente a (x2,y2), allora --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

La norma di un vettore (x,y) corrispondente a z si scrive

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

La si chiama ugualmente il modulo o la norma del complesso z e la si indica con | z|. Si ha beninteso | z1z2| = | z1|| z2|.

Il sotto-gruppo delle unità del corpo C, che si indica con U(1), è l'insieme degli elementi z di C che verificano

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

Questo insieme è stabile per moltiplicazione. L'elemento 1 appartiene a U(1). Ogni elemento di U(1) è invertibile e la sua inversa è ancora in U(1). Si dice che U(1) è un gruppo. Attenzione la somma di due elementi di U(1) non è in generale in U(1). La costruzione precedente ha dunque fatto apparire il cerchio S1 come un gruppo, il gruppo degli elementi unità di C. La tangente al cerchio S1 nel punto 1, ciò che si chiama l'algebra di Lie del gruppo U(1), è la retta immaginaria definita da

2 Il corpo dei quaternioni

Definizione.

Riprendiamo la costruzione precedente per munire R4 di una struttura di corpo. Sia M2(C) lo spazio delle matrici 2×2 a coefficienti complessi. A ogni coppia di numeri complessi (a,b) si può associare la matrice quadrata a coefficienti complessi

ö ÷ ÷ ÷ ø | - | a |
|---|

| - | a |
|---|

Si osserva allora che:

1. la somma di 2 tali matrici è ancora della stessa forma

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. il prodotto per un reale l di una tale matrice q è ancora di questo tipo

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|---|---|

| l | - | a |
|---|

3. anche il prodotto matriciale di 2 tali matrici

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

Si è dunque costruita una sotto-algebra di M2(C) che si indicherà con K. Ma contrariamente a C, questa algebra non è commutativa. Infatti, si ha per esempio

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

mentre

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Il determinante di una matrice q Î K si scrive

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|

| - | a |
|---|

di conseguenza, ogni matrice q in K non nulla è invertibile e la sua inversa

--- ****

æ ç ç ç è

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

appartiene anch'essa a K. Si chiama K il corpo dei quaternioni. È ugualmente uno spazio vettoriale reale di dimensione 4. Si può scrivere ogni quaternione q sotto la forma

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

dove

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Si verificano senza difficoltà le relazioni seguenti:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

Il prodotto scalare ordinario di due vettori in R4 rappresentati dai quaternioni

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

e

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

si scrive

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

La norma di un vettore (t,x,y,z) rappresentato da q si scrive

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

La si chiama ugualmente il modulo o la norma del quaternione q e la si indica con | q|. Si ha beninteso | q1q2| = | q1|| q2|.

Quaternioni reali e immaginari.

Il coniugato di un elemento q in K, lo si definisce come la trasposta della matrice coniugata di q

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

Un quaternione q si dice reale se è della forma

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

dove t è un numero reale. Ciò permette di identificare R a un sotto-corpo di K. Il sottospazio dei quaternioni reali è definito dall'equazione

| q = | - | q |
|---|

Si definisce ugualmente lo spazio dei quaternioni immaginari H mediante l'equazione

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

È uno spazio di dimensione 3, generato da I,J,K. Esso è ugualmente definito come lo spazio delle matrici M di M2(C), antihermitiane

M = t`M = - M*

(M* è la trasposta della matrice degli elementi complessi coniugati) di traccia nulla

| Tr | (M) =0 |
|---|

Osservazione 1: * Nel caso del corpo C, si era constatato che lo spazio immaginario era costituito dalle matrici reali 2×2 antisimmetriche. Ma la traccia di una matrice antisimmetrica *

tM = - M * è necessariamente nulla, il che non è il caso di una matrice antihermitiana *

M = t`M = - M .*

*Il gruppo delle unità. * * *

Il sotto-gruppo delle unità del corpo K, che si indica con SU(2), è l'insieme degli elementi q di K che verificano

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

È l'insieme dei punti appartenenti alla sfera S3 che appare dunque così, munita di una struttura di gruppo, il gruppo SU(2). Lo spazio tangente (di dimensione 3) alla sfera S3, che si chiama l'algebra di Lie del gruppo SU(2), è lo spazio immaginario definito da

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Si potrà verificare che la parentesi di Lie, di due elementi di H, X e Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

appartiene ancora a H.

Lo spazio tangente alla sfera S3 in un punto qualsiasi q si ottiene moltiplicando a sinistra per q gli elementi dello spazio immaginario H

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

Ogni geodetica della sfera S3 uscente dal punto 1 nella direzione X (dove X appartiene a H e | X| = 1) è definita da

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

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Numero di consultazioni dal 14 maggio 2004 :