Fisica matematica e geometria

Fisica e Geometria

2 novembre 2004

La fisica matematica, di cui uno dei pionieri fu il matematico Jean-Marie Souriau, passa attraverso la geometria. In tutta questa trattazione, le grandezze fisiche come l'energia, la massa, la quantità di moto, lo spin, la carica elettrica, diventano grandezze di natura puramente geometrica grazie a uno strumento, la teoria dei gruppi. Che cosa serve per avventurarsi in questo universo, o in questa modalità di percezione dell'universo? Non molto: saper manipolare matrici. Se queste sono cose sconosciute, fai lo sforzo di familiarizzarti con esse, ne vale la pena. Se "hai visto questo in passato", ripulisci le tue conoscenze, potranno portarti molto lontano e rispondere a domande come:

• Qual è la vera natura dello spin delle particelle?

• Cos'è la materia antimateriale?

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Azione coadiacente del gruppo di Poincaré
sul suo spazio dei momenti

Attenzione: solo per lettori fortemente "orientati alla scienza". Questo non è divulgazione scientifica

24 ottobre 2004

La fisica ha sempre avuto un legame stretto con la geometria. Il matematico Jean-Marie Souriau è uno dei fondatori della fisica matematica. Questa passa attraverso una geometrizzazione della fisica, molto elegante. Tutto si fonda su gruppi a coefficienti reali, come il gruppo di Lorentz e il gruppo di Poincaré, qui rappresentati da matrici a coefficienti reali. In seguito, tutto parte da una singola matrice G, legata alla metrica dello spazio di Minkowski, quello della relatività ristretta. Grazie a questa matrice si definisce un primo gruppo L, rappresentato da matrici di formato (4,4). Questo gruppo agisce sullo spazio-tempo, costituito da punti-evento. A partire da queste matrici e da un "vettore di traslazione spazio-temporale" C, si costruisce un secondo gruppo rappresentato da matrici (5,5), che agiscono anch'esse sullo spazio-tempo. In questo spazio-tempo considereremo dei "movimenti". Il concetto di traiettoria è povero. Il movimento di una particella deve essere associato a grandezze come la sua energia E, la sua quantità di moto p. Per un fisico teorico, una particella che sia un "punto materiale" dovrebbe possedere anche uno spin. Ma cos'è un oggetto del genere? Un punto materiale può ruotare su se stesso?

Souriau ha introdotto geometricamente queste grandezze partendo unicamente dai gruppi. Tutto ciò, lo ammetto, è abbastanza arduo. Un gruppo "agisce". Tutto inizia quindi dal concetto di azione. Il gruppo agisce sui movimenti nel senso che un elemento del gruppo di Poincaré trasforma un movimento in un altro movimento, che si inserisce nello spazio dei movimenti, lo spazio-tempo. Un gruppo "trasporta". Il gruppo euclideo contiene, ad esempio, le traslazioni e le rotazioni in uno spazio 3D. Permette di trasportare punti o insiemi di punti. Questa idea è abbastanza intuitiva. Quando si tratta dello spazio-tempo, si "trasporta" dei "movimenti". Consideriamo due portacenere identici, posizionati in due punti diversi di uno spazio 3D. Esiste sempre un elemento del gruppo euclideo che, con una traslazione e una rotazione, permette di spostare il primo portacenere sul secondo. Grazie al gruppo, se si conosce la descrizione di un portacenere in un punto qualsiasi dello spazio, si possono costruire "tutti i portacenere possibili", in tutti i punti dello spazio e in tutte le orientazioni possibili.

Nello spazio-tempo, l'oggetto è un "movimento". I movimenti gestiti dal gruppo di Poincaré corrispondono a quelli di un "punto materiale relativistico". Allo stesso modo, grazie al gruppo, se si conosce uno di questi movimenti, se ne conoscono tutti. Una particella è un movimento particolare del punto materiale. Si potrebbe riassumere questa visione delle cose con l'espressione:

Dimmi come ti muovi, ti dirò cosa sei

Souriau ha mostrato che lo spazio dei movimenti doveva essere associato a uno spazio secondario, che ha chiamato "spazio dei momenti". Con "momento", Souriau intende i parametri associati a una particella data. Quando questa particella viene "osservata" in un certo modo, cioè descritta in un sistema di coordinate adeguato, emergono tre quantità:

E, p, s

L'energia E, la quantità di moto p e questo oggetto misterioso che è lo spin s. Questi oggetti appaiono allora come grandezze puramente geometriche attraverso l'azione coadiacente del gruppo sul suo spazio dei momenti.

Attualmente gli astrofisici giocano con un oggetto che chiamano "energia oscura", l'unico nuovo ingrediente cosmologico che sembra avere la natura adatta a spiegare il fenomeno della ripresa accelerata dell'espansione cosmica, collegato a forze repulsive. Questa "energia oscura" è... negativa. Si vedrà che l'approccio presentato qui porta anche all'esistenza di punti materiali con energia negativa, come semplice conseguenza delle proprietà del gruppo di Poincaré, in grado di generare movimenti di questo tipo. Prima di passare a questo, sarebbe necessario che il lettore scientifico leggesse questo documento e se ne immedesimasse. Dal punto di vista tecnico di calcolo, questa lettura richiede solo la capacità di manipolare matrici. Quindici anni fa era al livello di un liceo scientifico, ma sembra che le matrici non siano più insegnate a questo livello. Peccato, è uno strumento essenziale, ma questa cancellazione corrisponde probabilmente a una "modernizzazione dei programmi".

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Particelle con energia negativa

25 ottobre 2004

Nella fisica astrofisica attuale, i teorici tendono a concentrare l'attenzione su ciò che chiamano "energia oscura", negativa, causa della ripresa accelerata dell'espansione cosmica, come emerge dall'osservazione di supernovae lontane.

La teoria dei gruppi dinamici della fisica (gruppo di Poincaré) permette di chiarire questo tema spinoso. Ancora una volta, qui si tratta solo di elementi accessibili a scienziati o lettori fortemente "orientati alla scienza".

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La carica elettrica: un oggetto geometrico

9 novembre 2004

Mettenendo in gioco un'invenzione del matematico Jean-Marie Souriau: l'azione coadiacente di un gruppo sul suo spazio dei momenti, abbiamo ricordato come egli abbia fatto emergere energia, quantità di moto e spin come oggetti puramente geometrici. In seguito, riprendiamo il modo in cui procedette per far apparire la carica elettrica anch'essa come oggetto puramente geometrico. Aggiunge allo spazio-tempo quadridimensionale una quinta dimensione. Questo insieme pentadimensionale viene poi gestito da un nuovo gruppo dinamico a undici dimensioni, estensione non banale del gruppo di Poincaré. L'aumento del numero delle dimensioni del gruppo va di pari passo con l'aumento delle componenti del momento, questa undicesima dimensione essendo identificata con la carica elettrica q.

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