Superficie isometrica e geodetiche

Abbiamo "pulito" questa figura qui per renderla un po' più leggibile. Una superficie è un oggetto a 2 dimensioni, qui "immerso" in uno spazio tridimensionale euclideo, R³. Possiamo "vederla" dall'alto. Si scopre che questa superficie è immergibile nello spazio R³ "in modo isometrico". Cioè, se attacchiamo un nastro adesivo su di essa, esso si incastrerà effettivamente su una geodetica che collega due punti A e B della superficie. La lunghezza misurata lungo l'arco geodetico è corretta. È isometrica, etimologicamente "della stessa lunghezza". Più in basso, c'è una rappresentazione a 2 dimensioni che non è isometrica... la lunghezza dell'arco A'B' non è uguale a quella dell'arco AB. Costruisci l'oggetto seguente utilizzando un foglio di carta, una matita e delle forbici:

Questa figura non è isometrica. Innanzitutto, la curva rappresentata non è una geodetica del piano. In secondo luogo, la larghezza dell'arco AB non è la "vera lunghezza" che potremmo misurare sulla "vera superficie", che "non ha un buco". Il foglio di carta con un buco è solo una rappresentazione utile, nient'altro. Lo stesso vale per la tecnica di disegnare su un lato del foglio e sull'altro, la curva intera che appare solo in trasparenza.

Nella figura seguente, abbiamo mostrato le geodetiche della superficie, calcolate al computer (che figura nell'articolo).

Le linee tratteggiate delle curve corrispondono ai rami situati "dall'altra parte" (come se guardassimo la superficie "dall'alto").

Ora una domanda: possiamo costruire una rappresentazione piana e isometrica di queste geodetiche? La risposta è sì. Abbiamo visto che possiamo cambiare la variabile r in variabile r. Così le geodetiche possono essere rappresentate in un piano di "coordinate polari" (r, j). Le geodetiche (qui una geodetica non radiale) hanno allora l'aspetto seguente:

Si tratta di una rappresentazione isometrica. Tre punti A, B e C appartengono alla superficie, situati sulla stessa geodetica. A', B' e C' sono i punti corrispondenti in questa rappresentazione [r, j]. I punti A e B si trovano sullo stesso emisfero e l'arco geodetico che li collega non attraversa il cerchio della gola. Misurata in questo piano, lungo l'immagine della geodetica (che non è ovviamente una geodetica di questo piano), la lunghezza dell'arco A'B' è uguale a quella dell'arco AB, misurata sulla superficie.

L'arco BC attraversa la sfera della gola. Stesso discorso.

Ma questa isometria non si applica a tutte le geodetiche della superficie. Esiste una, unica nel suo modo: il cerchio della gola, ridotto qui a un punto. È l'unica superficie che si richiude su se stessa.

Le geodetiche sono le uniche cose che abbiamo per comprendere una superficie o, in modo più generale, uno spazio non piano, non euclideo. Sono riferimenti utili (anche se abbiamo una visione distorta nei nostri sistemi di rappresentazione bidimensionali e tridimensionali – in prospettiva). Sappiamo che queste geodetiche esistono, che sono intrinseche. Quelle di una sfera, ad esempio, sono cerchi massimi. Nel caso dello spazio-tempo, sono riempite da un'infinità di geodetiche spazio-temporali. Le geodetiche esistono in modo intrinseco e per comprenderle (etimologicamente: tenere, prendere tra le braccia), proviamo a "sentirle" come uomini ciechi. Tuttavia, le linee di coordinate spazio-temporali non hanno una realtà intrinseca, né i due insiemi di meridiani e paralleli costituiscono una parte integrante di una sfera. Non sono "fornite all'interno". La geometria di Schwarzschild, soluzione dell'equazione del campo di Einstein, è un'iper-superficie a 4 dimensioni. I teorici vi hanno attaccato intere famiglie di curve, "t costante", "r costante", ecc.

Non dimenticate mai che questi gesti sono totalmente arbitrari, anche se anche gli esperti di cosmologia teorica spesso tendono a dimenticare questo punto e, di tanto in tanto, devono essere richiamati all'ordine da matematici geometrici. Era quindi perfettamente lecito cambiare le coordinate spazio-temporali.

A questo punto, direte: allora, cosa ci dice che una scelta delle coordinate è migliore di un'altra? Cosa è ragionevole o irragionevole? È una questione di gusto. Scegliere coordinate spazio-temporali significa imporre una visione fisica a un oggetto matematico. Nel caso della Terra, gli abbiamo attribuito i poli quando gira. Il Polo Nord è semplicemente la normale alla superficie "Terra" che punta verso la Stella Polare, una stella fissa nel cielo.

In materia di isometria e non isometria, la cartografia illustra le difficoltà di rappresentare una sfera su un piano. La proiezione di Mercatore (proiezione della sfera terrestre su un cilindro tangente all'equatore) è molto piacevole per chi vive vicino all'equatore. Tuttavia, qualcuno che vive a uno dei poli si troverà di fronte a una brutta sorpresa: il suo dominio puntiforme si trasformerà in una linea retta...

Esistono centinaia di modi per proiettare una sfera su un piano. Immaginate questo:

Immaginate che costruiamo mappe da questo modello e le vendiamo. Un successo immediato tra coloro che vivono ai due poli: le proiezioni sono quasi isometriche in queste aree. Utili per farsi un'idea delle distanze in quelle zone. Se la Terra fosse abitabile ai poli e relativamente inospitale altrove, le mappe sarebbero probabilmente state fatte così. Tuttavia, vedremmo che il cerchio limite della proiezione su un piano non corrisponde più all'equatore, ma a un parallelo (qui nell'emisfero nord). Vicino a questa zona, la mappa sarebbe molto lontana dall'isometria. Inoltre, su questa mappa strana, una parte della massa terrestre dovrebbe essere rappresentata da una linea piena normale e un'altra parte da una linea tratteggiata, perché si trova al di là del parallelo dove l'oggetto, stranamente, sembra "riversarsi su se stesso". Forse potremmo fornire mappe su un disco di carta, il resto della massa terrestre apparirebbe sul lato opposto del foglio.

Proviamo ora a "immaginare tutto questo in 3D". Abbiamo mostrato Lanturlu che immerge il braccio sinistro nella sfera della gola attraverso due disegni separati, che potrebbe sembrare implicare che lo spazio tridimensionale numero due sia "altrove". Per essere corretto, i due disegni in prospettiva dovrebbero essere sovrapposti, la mano che emerge (destra) rappresentata da una linea tratteggiata.

Ho provato a farlo, sebbene non fosse facile. Avrei potuto utilizzare due colori diversi, rosso per le parti del primo lato tridimensionale del nostro spazio tridimensionale non semplicemente connesso, verde per l'altro. Un Lanturlu rosso vedrebbe allora la sua mano sinistra, che aveva immerso nella sfera, uscire come una mano destra verde.

Evidentemente, "dentro" la sfera della gola non c'è niente. L'aspetto di un interno, di un contenuto volumetrico, è semplicemente dovuto alla nostra scelta di questo spazio di rappresentazione tridimensionale. Così come nel buco praticato nel foglio di carta non c'è neanche carta. Era semplicemente un incidente legato alla scelta di questo spazio di rappresentazione piano. Se qualcuno insisteva a utilizzare una rappresentazione piano senza rimuovere il disco tagliato nel foglio e continuava a chiedere senza sosta "cosa c'è dentro", sarebbe completamente "fuori campo" (o meglio... dentro). Il campo non esiste.

Torniamo alla 3D. Quando Lanturlu immerso il braccio nella sfera della gola, questa non ha neanche un interno. L'aspetto di un interno è semplicemente dovuto alla nostra scelta dello spazio di rappresentazione. Potremmo considerare che Lanturlu e la sua mano che emerge siano stati disegnati su un foglio di carta a tre dimensioni, dal quale abbiamo rimosso... una sfera (l'equivalente tridimensionale del disco del foglio di carta). Matematicamente, un disco è una "palla b²" e un "volume sferico" è una "palla b³". Con "palla" intendiamo una cellula contrattile (vedi il Topologicon sul "CD-Lanturlu"), cioè un oggetto che può contrarsi rispetto a un punto passando attraverso di sé. Gli esempi bidimensionali e tridimensionali servono a illustrare il piano di battaglia dell'articolo: la sfera di Schwarzschild non ha né "interno", né "centro". Quando la attraversiamo (passaggio ipertorico), ci troviamo "dall'altra parte dello spazio-tempo".

Qual è la giustificazione di questa nuova interpretazione della "geometria di Schwarzschild"?

Risposta: l'eliminazione delle singolarità. Kruskal, con il suo "prolungamento analitico", ha fatto del suo meglio per penetrare questa "sfera maledetta". È riuscito solo a chiudere la singolarità (il ruolo inizialmente svolto dalla sfera di Schwarzschild) in un punto situato "al centro di questo oggetto". La gente si è accontentata di questo trucco. Tuttavia, pensiamo che sia meglio senza singolarità.

La natura si ribella, quando la si guarda dal lato sbagliato, producendo singolarità. È così che vediamo le cose. È una visione preconcetta di ciò che è "reale". Crediamo che queste singolarità non esistano in natura. Pensiamo anche che l'infinito non esista. Ma, come diceva Kipling, è un'altra storia. Ho avuto discussioni accese con Souriau su questa questione l'anno scorso.

• Cosa prova che l'infinito esiste? ...

• Ma senza l'infinito non c'è matematica!

• Hai mai incontrato l'infinito? L'hai visto, l'hai tenuto in mano?

• È una... comodità.

• Generiamo numeri infinitamente grandi supponendo che possiamo aggiungere 1 a un numero indefinitamente. Utilizziamo un'infinità sequenziale per generare un'infinità numerica. Si morde la coda, il tuo trucco.

• D'accordo, diciamo che è una comodità. L'uomo ha inventato due cose importanti nella sua storia: l'infinito e i bagni...

Non credo neanche che l'infinitamente piccolo esista, né fisicamente né matematicamente. Ma questo sarà oggetto di altri articoli. Lasciamo queste questioni da parte per ora. Una semplice digressione.

sul sito](/fr/article/f300-f301html)).

Come disse Archimede, credo, all'ingresso di un santuario delle scienze, "nessuno entra qui chi non è geometrico". Questi tensori e altre cose, un campo che Midy ama, sono altrettanto indigesti della pasticceria inglese.

Si vede quindi, attraverso questa discussione, che la nostra visione fisica di questi fenomeni deriva dal modo in cui decidiamo di rappresentarli. Modificando le coordinate spaziali, abbiamo cambiato la "topologia locale", un termine che richiede una chiarificazione matematica secondo Souriau. In realtà, l'espressione è un eufemismo dolce: lui ha semplicemente iniziato a infuriarsi quando l'ho pronunciato e io e il mio gatto Pioum abbiamo avuto molta difficoltà a calmarlo. Souriau è il Professor Tournesol della matematica. È un praticante volontario dell'indignazione matematica elevata. Tuttavia, questa indignazione non deve essere confusa con la rabbia nel senso banale della parola. Piuttosto, io gioco qui il ruolo di Molière in "Monsieur Jourdain". I fisici utilizzano spesso le matematiche senza saperlo (e viceversa, in realtà).

Ammettendo provvisoriamente l'uso di parole "non specificate", tutto sembra come se avessimo considerato solo la "topologia locale" della geometria di Schwarzschild come "ipersferica" (che la sfera di Schwarzschild "contiene" una "palla b³"). L'abbiamo resa "ipertorica". Per questo ho proposto il termine "geometrie ipertoriche".

Abbiamo menzionato in precedenza l'inversione dello spazio. Essa è negoziata con i gruppi. Si può capire in modo diverso? Abbiamo visto che Lanturlu immergeva la sua mano sinistra nella sfera della gola e vedeva una mano destra uscirne. In realtà, ogni atomo della sua mano ha seguito una geodetica "radiale", perpendicolare alla superficie.

Non dimentichiamo di passaggio che questo sistema di rappresentazione non è isometrico. Come nel foglio con un buco. Se misuriamo la distanza percorsa nei due semispazi da un atomo-test appartenente alla mano di Lanturlu (Archibald Higgin nelle edizioni inglesi), non coinciderebbe con la distanza reale misurata con un pezzo di corda.

Torniamo alla figura mostrata in precedenza.

Qui abbiamo mostrato un arco geodetico AB che attraversa il cerchio della gola e la sua immagine nello spazio di rappresentazione piano sottostante. Il carattere non isometrico della rappresentazione diventa ancora più evidente. Le lunghezze degli archi AB e A'B' sono molto diverse.

Ovviamente, è abbastanza difficile immaginare che si possa passare una corda attraverso la sfera della gola di un passaggio ipertorico. Stringendo la corda, otterremmo una geodetica (linea del percorso più breve). Dopotutto, se misurassimo la lunghezza della corda nello spazio di rappresentazione tridimensionale (Lanturlu che spinge il braccio) e decidessimo di misurare la lunghezza della corda in questo spazio, troveremmo una lunghezza più breve A'B'. La lunghezza reale, misurata nell'iper-superficie tridimensionale, sarebbe più lunga, come mostra il disegno in 2D. La rappresentazione tridimensionale con Lanturlu è quindi non isometrica, così come la rappresentazione piano sopra.

Con l'aiuto di alcuni disegni, questi concetti sottili, derivati dalla teoria dei gruppi, diventano meno oscuri, a condizione di "vedere nello spazio". È questo che sto cercando di insegnarvi a fare, vedere in uno spazio tridimensionale curvo.

Torniamo alla questione dell'enantiomorfismo, l'inversione degli oggetti quando attraversano la struttura della gola bidimensionale o tridimensionale. Immaginate geodetiche radiali in 2D. La parola è diventata errata, poiché in realtà un raggio è una linea retta che parte da un punto. In realtà, si tratta di geodetiche a j costante. Guardate il disegno precedente che mostrava questa coordinata azimutale. Tuttavia, per maggiore concisione, continueremo a utilizzare la parola "radiale", tra virgolette. Notate che la parola "radiale" è già il risultato della scelta dello spazio di rappresentazione. Immaginate che una lettera R (che non è identica alla sua immagine speculare, la sua immagine enantiomorfa) scivoli come un trasferimento male fissato lungo il nostro passaggio torico, ogni punto si muove lungo una geodetica. La lettera si ritroverà "dall'altra parte". È interessante osservare il risultato dell'operazione su una proiezione piano nello spazio di rappresentazione.

Abbiamo mostrato una sorta di nastro i cui bordi sono costituiti da due geodetiche. Cosa notiamo? Nello spazio di rappresentazione, la lettera R è invertita per diventare un "ia" russo, un R rovesciato, enantiomorfo. Cominciamo a capire perché la mano di Lanturlu sembra invertita quando emerge nello spazio di rappresentazione tridimensionale, diventa enantiomorfa.