Ma
esistono superfici intrinsecamente singolari, che possiedono singolarità
non dovute a una scelta di coordinate. Ecco un esempio: la singolarità conica.
Grezza
di fonderia, come formulata da Schwarzschild nel 1917, le coordinate t
, r , q , j (tempo,
una distanza radiale e due angoli, equivalenti ad azimut e sito: coordinate
"sferiche") la sfera di Schwarzschild è singolare. Per un certo valore Rs della
"coordinata radiale" r (supposta misurata da un "centro geometrico") questa
metrica ci gioca ogni sorta di scherzi. Uno dei termini sulla sfera ha
un denominatore non nullo. In breve, è singolare su questa sfera. È una singolarità
intrinseca o un artefatto introdotto da una cattiva scelta di coordinate? Questa
è la domanda che ci siamo posti.
Notiamo
di passaggio che la "geometria di Schwarzschild" è un ipersuperficie quadridimensionale,
il che rende la cosa ancora più inaffidabile.
Kruskal
si concentrò su questo punto. Costruì un cambio di coordinate che, tra le altre
cose, forniva un valore costante per la velocità della luce lungo una traiettoria radiale.
In tal modo concentrò l'aspetto singolare "al centro dell'oggetto"
in una "singolarità centrale". Psicologicamente sentiamo di aver guadagnato qualcosa.
La soluzione diventa "regolare quasi ovunque", espressione che i matematici
usano per dire che una soluzione è regolare, esente da patologia, tranne che in un unico
punto.
- Non
starai mica a fare il difficile per un solo piccolo punto...
Ahimè,
la formulazione di Kruskal ha una grave debolezza: non restituisce lo spazio
della relatività speciale infinita. Tecnicamente non è infinitamente lorentziana,
"asintoticamente lorentziana".
È
una questione essenziale in fisica: le singolarità esistono. La Natura tollera
la singolarità? La risposta è formulata in termini di credenza (come per l'esistenza
o inesistenza dell'infinito, in effetti).
Abbiamo cercato
una nuova interpretazione di questa stessa geometria di Schwarzschild provando a eliminare
ogni singolarità e ci siamo riusciti. La nostra risposta è dunque:
- Il
carattere singolare della soluzione di Schwarzschild è semplicemente indotto da una cattiva
scelta di coordinate.
Tecnicamente,
tutto si basa sul cambio di variabile:
r = Rs +
Log chr
che si legge: r è uguale a
Rs più il logaritmo del coseno iperbolico della variabile
r . Semplice tranne che per scienziati, specialisti o studenti di matematica superiore.
Per coloro che sono in grado di giocare con la formula, il valore r non può più diventare
inferiore a Rs, anche quando r assume qualsiasi valore possibile
da meno infinito a più infinito.
Si consideri
una superficie ottenuta facendo ruotare una parabola attorno a una retta, così:
Questa
figura è stata tratta dall'articolo. La superficie è infinita, in effetti, proprio come
il meridiano-parabola che l'ha creata ruotando attorno all'asse z mostrato. Se
dobbiamo assolutamente rappresentarla con le sue coordinate (r,z,j) possiamo aspettarci problemi
quando chiediamo "com'è questa superficie quando r < Rs?"
Si troverà
una risposta... immaginaria, con radici di quantità negative. Semplicemente perché
siamo allora "extra-superficie".
Questa
superficie, in matematica, si dice "non semplicemente connessa", termine barbaro
che designa semplicemente superfici dove qualsiasi curva chiusa non è in grado di vedere il proprio
perimetro diminuire, scivolando nella superficie fino a prendere un valore zero.
Questo
è possibile su una sfera, che è "semplicemente connessa". Ma sulla superficie in
questione possiamo vedere abbastanza chiaramente che una curva chiusa che "gira attorno
alla specie di pozzo centrale" non può vedere il proprio perimetro tendere a zero, il limite
essendo il perimetro del "cerchio della gola". Lo stesso vale per un toro, che
è anch'esso "non semplicemente connesso".
Abbiamo definito
una tale superficie dalla sua metrica, il che è una buona illustrazione del nostro argomento.
Mantenendo la coordinata r, la superficie sembra essere singolare. Usando il
cambio di variabile dato sopra, non lo è più. A cosa corrisponde la coordinata
r? Semplicemente "percorre" il meridiano della parabola come mostrato sulla figura, prendendo il valore zero sul cerchio della
gola. Metà della superficie corrisponde a r positivo,
l'altra a r negativo. Nel sistema di marcatura dei
punti [r , j ] non
c'è più singolarità.
Abbiamo
deciso di chiamare questo tipo di oggetto un "ponte torico" per analogia con il toro.
Tuttavia
si mostra facilmente, sempre partendo dalle metriche, che possiamo dare a un oggetto
un ipersuperficie 3d che ha un "ponte ipertorico". Allora non c'è più alcun
cerchio della gola ma una sfera della gola. Lo stesso vale per la superficie sopra, un cerchio della
gola sembra collegare due strati 2d così che la sfera della gola collega due
"semispazi 3d". Se siamo in uno di questi semispazi 3d e ci tuffiamo nella
sfera della gola, emergiamo nell'altro semispazio.
Torniamo
alla superficie 2d mostrata sopra. La figura seguente mostra come quando
tracciamo "cerchi che crediamo concentrici" vediamo il loro perimetro ridursi,
raggiungere un minimo, poi aumentare ancora una volta.
In 3d
dobbiamo immaginare una sfera che ingloba completamente la sfera della gola Poi
un'altra all'interno di questa (dovremmo dire "oltre" quando seguiamo una data direzione,
verso la sfera della gola). Supponiamo che la superficie di questa sfera sia minore.
Tuttavia quando raggiungiamo la sfera della gola, la superficie passa per un minimo
e poi comincia ad aumentare... all'infinito se continuiamo l'operazione.
Abbiamo
costruito "metriche" delle superfici 2d e 3d che includono un "passaggio torico" e
un "passaggio ipertorico" e, nel secondo caso, siamo stati colpiti dalla somiglianza
con la metrica di Schwarzschild, dove abbiamo intrapreso il cambio di coordinate
e fatto emergere il suo carattere "non semplicemente connesso", l'"interno" dell'
oggetto diventando semplicemente "oltre la sfera della gola".
Fu così
possibile eliminare ogni singolarità.
A quel
punto avevamo semplicemente esteso il modello del buco nero a un tandem di "buco nero-fontana bianca". Tuttavia, per l'"osservatore esterno", il tempo necessario per attraversare
il ponte ipertorico è ancora infinito. Sembra che abbiamo semplicemente migliorato il
modello del buco nero spiegando ciò che ne è emerso
Abbiamo detto
prima che la scelta delle variabili, in una soluzione geometrica è totalmente arbitraria.
Ciò che vale per lo spazio vale anche per il tempo. Abbiamo quindi cercato un cambio di variabile temporale come inventato da Eddington nel 1924:
Ancora una volta, lo menzioniamo
solo per semplici scienziati e studenti di matematica superiore.
t è il vecchio "tempo cosmico",
l'antica "variabile cronologica" presentata nella soluzione iniziale di Schwarzschild
del 1917.
t' è il nuovo "tempo di Eddington".
Rs è il "raggio di Schwarzschild (nel qual caso dovremmo dire il perimetro di Schwarzschild,
diviso per 2p ).
c è la velocità della luce
(costante qui).
Qualcosa
che potrebbe sembrare strano: mescoliamo tempo e spazio ma, con la materia, tutto è permesso.
La scelta del marcatore temporale è completamente arbitraria. Chiediamo solo che:
-
la metrica sia asintoticamente
lorentziana, vale a dire che all'infinito, lo spazio-tempo diventi lo spazio-tempo di Minkowski,
quello della relatività speciale. Nel nostro caso funziona (non per Kruskal). -
il nuovo tempo t' si identifichi,
sempre all'infinito, con il "tempo di un osservatore supposto immobile".
Il che è anche il caso (non per Kruskal).Facendo
così il tempo di caduta libera di una particella test, infinitamente immobile e che cade
verso la sfera di Schwarzschild, diventa infinito in relazione al "tempo
trascorso dall'"osservatore esterno", che è lontano e immobile.Tuttavia
la particella emergerebbe dalla voragine in un tempo infinito. Come nel
buco nero possiamo entrare in questa sorta di voragine 3d ma non possiamo uscire,
tranne che in un tempo infinito.L'altro
lato è una riemersione. Ma con una tale scelta del tempo (t') la particella
emerge dalla riemersione in un tempo infinito mentre è in grado di penetrare
in un tempo finito. Questo era un punto critico. La soluzione consiste nell'effettuare
una sorta di doppio cambio di variabile, che abbiamo tutto il diritto di fare,
per la porzione di spazio-tempo che si suppone sia nostra:
Nell'"universo
gemello":
Il
meccanismo cosmico funziona così perfettamente.
-
Nessuna singolarità.
-
Possiamo entrare nella "voragine"
ma non possiamo uscirne (buco nero). -
Possiamo uscire dalla
riemersione ma non possiamo entrarvi (fontana bianca).Bene,
dirai, stiamo facendo progressi...Sì
e no. Il problema è che il tempo di transito nel passaggio ipertorico è di appena
qualche centesimo di secondo. E questo Moloch è capace di inghiottire qualsiasi cosa,
dieci masse solari per esempio, in meno tempo di quanto impieghi un proiettile ad attraversare
una carta da gioco.La
conclusione è che attraverso questa rappresentazione più razionale della soluzione
geometrica, i buchi neri non potrebbero esistere. Sono... finzioni matematiche. Possono
esistere solo in virtù di questo "congelamento del tempo". Tuttavia con il "tempo di Eddington",
che soddisfa tutte le esigenze della fisica, il tempo di transito diventa finito.
Conclusione: questa geometria di Schwarzschild
è, a nostro parere, solo un'istantanea, un'immagine istantanea, di un processo
non stazionario di trasferimento iperspaziale. È come se, mostrata la foto di un'incudine
che qualcuno aveva lanciato in aria, concludessi che tutte le incudini galleggiano in aria. La
soluzione di Schwarzschild è anche la soluzione di un'equazione che implica che
l'universo è perfettamente vuoto, che la densità di materia-energia è nulla in
ogni punto. Un po' come se qualcuno ti mostrasse la foto di uno stadio di calcio
scattata dopo che i giocatori avevano lasciato il campo per l'intervallo e tu concludessi che
si gioca a calcio su campi vuoti.
Allora cosa
accadrebbe?
Abbiamo
mostrato che durante il passaggio attraverso la sfera della gola, la coordinata temporale
si invertiva. Se chiamiamo t' il tempo (di Eddington) corrispondente al nostro "lato
dello spazio-tempo" e t'* il "marcatore temporale" dell'universo gemello abbiamo:
t'* = -
t'
Nota
che nel 1967 Andrei Sakharov fu il primo a suggerire che due universi con
tempi invertiti furono creati al momento del "Big Bang".
Resta
da capire cosa si intende per "inversione del tempo". Significa che quando ci
tuffiamo nell'universo gemello diventiamo più giovani? Abbiamo mostrato che non è
così. "Prendiamo il nostro tempo" e se emergessimo un po' più in là tramite una struttura simmetrica, non
saremmo più giovani di quando siamo entrati nell'universo gemello.
Impossibile quindi "uccidere il proprio padre" come nel "Viaggiatore imprudente" di Barjavel
("Le Voyageur Imprudent").
I gruppi,
ancora una volta, ci hanno permesso di chiarire il senso "ontologico" dell'inversione
della coordinata temporale. Quando una particella si tuffa nell'universo gemello la sua azione
gravitazionale si fa sentire, ma il suo contributo al campo gravitazionale diventa
allora negativo. La sua "massa gravifica" si inverte.
Per
inciso, questo giustifica totalmente il modello sviluppato sul sito e nel libro
"Abbiamo perso metà dell'universo" ("On a perdu la moitié de l'univers")
(Albin Michel). Le masse che vagano negli universi gemelli si comportano come masse
repulsive in relazione alle masse presenti nel nostro universo.
-
Secondo Newton,
le masse si attraggono nel nostro universo. -
Secondo Newton,
le masse si attraggono nell'universo gemello. -
Quando masse situate
in due porzioni "adiacenti" di spazio-tempo interagiscono, si respingono.
Questa è una semplice conseguenza
dell'inversione della variabile temporale (ma non del tempo).
I
gruppi mostrano anche come la dualità materia-antimateria esista in entrambi gli universi,
come immaginato da Andrei Sakharov.
Quando
una particella di materia riesce a passare nell'universo gemello (vedremo come più avanti)
rimane materia, ma "simmetrica CPT". Questo è il senso del famoso
"teorema CPT" della fisica (mai dimostrato. Ciò che Souriau chiama un "teorema da medico").
Classicamente i medici dicono " il simmetrico CPT della materia è identico alla
materia". La simmetria CPT significa:
-
La particella, nella sua
nuova tana, si muove nel "tempo all'indietro": simmetria T. -
È enantiomorfa,
invertita destra e sinistra, in "specchio": simmetria P. -
Tutte le sue "cariche" sono
invertite, compresa la sua carica elettrica, se ne ha una. Questa è la simmetria C.Per
noi, il simmetrico CPT di una particella è una particella dell'universo gemello (o che è entrata
nel gemello). È una particella gemellare. Poiché ha la simmetria T, la sua massa è automaticamente
invertita (un risultato inizialmente ottenuto da J. M. Souriau nel 1974).
Il simmetrico C di una particella
è la sua antiparticella.
Feynman
trovò che il simmetrico PT di una particella si comportava come un'antiparticella. Esatto,
ma si tratta... dell'antimateria del gemello, con massa negativa (poiché
ha anch'essa la simmetria T). Tutto ciò appare dalla storia dei gruppi. Questo lavoro
fa il collegamento tra tutto ciò che è stato pubblicato finora (sul sito vedi Fisica
Geometrica B nella sezione 'geometrizzare l'antimateria'). Si può ottenere una buona illustrazione di
questa faccenda dell'inversione dello spazio. Nell'articolo insistiamo spesso sull'idea di uno spazio di rappresentazione. È lo spazio in cui rappresentiamo mentalmente
gli oggetti geometrici. Prima abbiamo usato un'immagine in cui Lanturlu spinge
la mano nella sfera della gola e sembra emergere in un altro universo 3d.
Per esigenze di illustrazione il disegno è separato in due figure.
Ma c'è qualcosa che probabilmente non hai notato all'inizio: Lanturlu mette
la sua mano sinistra nella sfera ma è la sua mano destra che
emerge. Non è un caso.
Dov'è
il secondo universo?
È
incastrato nel nostro, il che è un po' difficile da capire. Sarà più semplice
se torniamo alla superficie 2d, la "flatland".
