Abbiamo ripulito la figura qui per renderla un po' più leggibile. Un surf

Abbiamo "ripulito" la figura qui per renderla un po' più leggibile. Una superficie è un oggetto bidimensionale, qui "immerso" in uno spazio tridimensionale per il resto euclideo in R3. Possiamo "vederla" dall'alto. Accade che questa superficie sia immergibile nello spazio R3 "in modo isometrico". Vale a dire che se vi attacchiamo del nastro adesivo, questo si inscriverà effettivamente su una geodetica che unisce due punti della superficie A e B. Anche la lunghezza misurata lungo l'arco geodetico è corretta. È iso-metrico, etimologicamente "la stessa lunghezza". Sotto c'è una rappresentazione bidimensionale che non è isometrica... la lunghezza dell'arco A'B' non è uguale a quella dell'arco AB. Costruisci il seguente oggetto con l'aiuto di un foglio di carta, una matita e un paio di forbici:

Questo disegno non è isometrico. Innanzitutto la curva mostrata non è una geodetica del piano. In secondo luogo la larghezza dell'arco AB non è la "lunghezza reale" che si potrebbe misurare sulla "superficie reale", che "non ha buco". Il foglio di carta con un buco è solo una rappresentazione utile, nulla di più. Lo stesso vale per la tecnica di disegnare su un lato del foglio e poi sull'altro, con l'intera curva che appare solo in trasparenza.

Nella figura seguente abbiamo mostrato le geodetiche della superficie, calcolate al computer (che compare nell'articolo).

Le linee tratteggiate delle curve corrispondono ai rami sull'"altro lato" (come se guardassimo la superficie "dall'alto").

Ora una domanda: possiamo costruire una rappresentazione piana e isometrica di queste geodetiche? La risposta è sì. Abbiamo visto che possiamo cambiare la variabile r nella variabile r. Quindi le geodetiche possono essere figurate in un piano di "coordinate polari" ( r , j ). Le geodetiche (qui una geodetica non radiale) appaiono come segue:

Questa è una rappresentazione isometrica. Cioè tre punti A, B e C appartenenti alla superficie, situati sulla stessa geodetica. A', B' e C' sono punti omologhi in questa rappresentazione [ r , j ]. I punti A e B sono situati sullo stesso semi-strato e l'arco geodetico che li unisce non attraversa il cerchio della gola. Misurata in questo piano, lungo l'immagine della geodetica (che ovviamente non è una geodetica di questo piano), la lunghezza dell'arco A'B' è uguale a quella dell'arco AB, misurata nella superficie.

L'arco BC attraversa la sfera della gola. Stessa cosa.

Ma questa isometria non si applica a tutte le geodetiche della superficie. Ne esiste una, unica nel suo genere: il cerchio della gola, qui ridotto a un punto. È l'unica superficie che si chiude su se stessa.

Le geodetiche sono le uniche cose che abbiamo per comprendere una superficie o, più in generale, uno spazio non planare e non euclideo. Sono utili marcatori (anche se abbiamo una visione distorta nei nostri sistemi di rappresentazione 2d e 3d (in prospettiva)). Sappiamo che queste geodetiche esistono, che sono intrinseche. Quelle di una sfera, per esempio, sono grandi cerchi. Nel caso dello spazio-tempo, sono riempite di un'infinità di geodetiche spazio-temporali. Le geodetiche esistono intrinsecamente e per comprenderle (etimologicamente: tenere, prendere tra le braccia) cerchiamo di "sentirle" come ciechi. Tuttavia le linee coordinate di spazio e tempo non hanno realtà intrinseca, né i due insiemi di meridiani e paralleli fanno parte integrante di una sfera. Non sono "forniti all'interno". La geometria di Schwarzschild, una soluzione all'equazione di campo di Einstein, è un'ipersuperficie quadridimensionale. I teorici vi hanno attaccato intere famiglie di curve, "t costante", "r costante" ecc.

Non dimenticare mai che questi gesti sono totalmente arbitrari, anche se persino gli specialisti di cosmologia teorica spesso perdono di vista questo punto e, di tanto in tanto, devono essere richiamati all'ordine dai matematici-geometri. Era quindi perfettamente lecito cambiare le coordinate spazio-temporali.

A questo punto dirai: allora cosa ci dice che una scelta di coordinate è migliore di un'altra? Cosa è ragionevole e irragionevole? È una questione di gusto. Scegliere le coordinate spazio-temporali significa collocare una visione fisica su un oggetto matematico. Nel caso della Terra, le abbiamo dato dei poli quando ruota. Il Polo Nord è semplicemente la normale della superficie "Terra" che punta verso la Stella Polare, una stella che rimane fissa nei cieli.

In materia di isometria e non-isometria, la cartografia illustra le difficoltà nel cercare di rappresentare una sfera su un piano. La proiezione di Mercatore (proiezione della sfera terrestre su un cilindro tangente all'Equatore) è molto bella per chi vive vicino all'Equatore. Tuttavia chi vive a uno dei poli ha una brutta sorpresa: il suo dominio puntuale si trasforma in una linea retta...

Ci sono centinaia di modi di proiettare una sfera su un piano. Immaginiamo questo:

Immaginiamo di fare mappe da questo modello e di venderle. Successo immediato tra chi vive ai due poli: le proiezioni sono quasi-isometriche in queste regioni. Utili per farsi un'idea delle distanze in quelle zone. Se la Terra fosse stata abitabile ai poli e relativamente inospitale altrove, le mappe sarebbero senza dubbio state fatte così. Tuttavia vedremmo che il cerchio di confine della proiezione su un piano non corrisponde più all'Equatore ma a un parallelo (qui nell'emisfero nord). Vicino a questa regione la mappa sarà molto lontana dall'isometria. Inoltre, su questa strana mappa, una parte della massa continentale dovrebbe essere mostrata con una linea normale e piena e una parte con una linea spezzata e tratteggiata perché si trova oltre il parallelo dove l'oggetto, stranamente, sembra "ripiegarsi su se stesso". Forse potremmo fornire mappe su un disco di carta con il resto della massa continentale che appare sull'altro lato del foglio.

Proviamo a "immaginare tutto questo in 3D". Abbiamo mostrato Lanturlu che immerge il suo braccio sinistro nella sfera della gola attraverso due disegni separati, il che potrebbe sembrare implicare che il secondo spazio 3D sia "altrove". Per essere corretti i due disegni in prospettiva dovrebbero essere sovrapposti con la mano (destra) emergente rappresentata da una linea tratteggiata.

Ho provato a farlo anche se non è stato facile. Avrei potuto usare due colori diversi, rosso per le parti nel primo lato 3D del nostro spazio 3D non semplicemente connesso e verde per l'altro. Un Lanturlu rosso vedrebbe allora una mano "sinistra" rossa che aveva spinto nella sfera uscire come una mano "destra" verde.

Ovviamente "dentro" la sfera della gola non c'è nulla. L'apparenza di un interno, di un contenuto volumetrico, è solo dovuta alla nostra scelta di questo spazio di rappresentazione 3D. Proprio come nel buco ritagliato nel foglio di carta non c'è nemmeno carta. È stato solo un incidente legato alla scelta di questo spazio di rappresentazione planare. Se qualcuno insistesse per usare una rappresentazione planare senza rimuovere il disco ritagliato nella carta e chiedesse ripetutamente "cosa c'è dentro" sarebbe completamente "fuori dal campo" (o meglio... dentro di esso). Il campo non esiste.

Torniamo al 3D. Quando Lanturlu immerge il suo braccio nella sfera della gola anche questa non ha un interno. L'apparenza di un interno è semplicemente dovuta alla nostra scelta dello spazio di rappresentazione. Potremmo considerare che Lanturlu e la sua mano emergente sono stati disegnati su un foglio di carta avente tre dimensioni e dal quale avevamo rimosso... una sfera (l'equivalente 3D del disco del foglio di carta). Matematicamente, un disco è una "palla b2" e un "volume sferico" è una "palla b3". Per "palla" intendiamo una cella contrattile (vedi il Topologicon sul "CD-Lanturlu") cioè un oggetto che può contrarsi rispetto a un punto passando su se stesso. Gli esempi 2d e 3D sono lì per illustrare il piano di battaglia dell'articolo: la sfera di Schwarzschild non ha "interno", né "centro". Quando la attraversiamo (passaggio ipertorico) ci ritroviamo sull'"altro lato dello spazio-tempo".

Qual è la giustificazione di questa nuova interpretazione della "geometria di Schwarzschild"?

Risposta: l'eliminazione delle singolarità. Kruskal, con il suo "prolungamento analitico", fece tutto il possibile per penetrare questa "maledetta sfera". Riuscì solo a stipare la singolarità (un ruolo inizialmente ricoperto dalla sfera di Schwarzschild) in un punto situato "al centro di questo oggetto". La gente si accontentò di questo trucco di prestigio. Tuttavia pensiamo che sia meglio senza singolarità.

La natura protesta, quando la guardiamo dal lato sbagliato, secernendo singolarità. È così che vediamo le cose. È una visione preconcetta di ciò che è "reale". Crediamo che queste singolarità non esistano in natura. Pensiamo anche che nemmeno l'infinito esista. Ma come disse Kipling, questa è un'altra storia. Ho avuto animate discussioni con Souriau sulla questione un anno fa.

Cosa prova che l'infinito esista? ....
Ma, senza l'infinito non ci sono matematica! ....
Hai mai incontrato l'infinito? Visto, tenuto in mano?
È una.... comodità.
Generiamo numeri infinitamente grandi supponendo di poter aggiungere 1 a un numero indefinitamente. Stiamo usando un infinito sequenziale per generare un infinito numerico. Si mangia la coda, la tua cosa.
OK, diciamo che è una comodità. L'uomo ha inventato due cose importanti durante la sua storia: l'infinito e i gabinetti...

Non credo nemmeno che l'infinitamente piccolo esista, né fisicamente né matematicamente. Ma questo sarà oggetto di altri articoli. Lasciamo da parte queste questioni per il momento. Una semplice digressione.

Di passaggio, vedi "Scale Invariant Cosmology" di P. Midy e J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, giugno 1999, pagine 271-280 dove abbiamo fatto sparire "la singolarità iniziale dell'universo". È una riformulazione più matematicamente costruita di un'idea che pubblicai nell'88-89 in Modern Physics Letters A (articoli sul sito).

Come disse Archimede, credo, all'ingresso di un santuario della scienza, "nessuno entri qui che non sia geometra". Questi tensori e roba varia, un campo che Midy ama, sono indigesti come il pudding inglese.

Possiamo vedere quindi, attraverso questa discussione, che la nostra visione fisica di questi fenomeni deriva dal modo in cui decidiamo di rappresentarli. Modificando le coordinate spaziali abbiamo cambiato la "topologia locale", un termine che richiede un chiarimento matematico secondo Souriau. In effetti la frase è un gentile eufemismo: ha semplicemente iniziato a delirare quando l'ho detta e il suo gatto Pioum ed io abbiamo avuto la massima difficoltà a calmarlo. Souriau è il Professor Tournesol della matematica. È un volenteroso praticante dell'alta indignazione matematica. Tuttavia questa indignazione non va confusa con la rabbia nel senso banale della parola. Piuttosto, che io reciti il "Monsieur Jourdain" di Molière è in questo campo. I fisici spesso usano la matematica senza saperlo (e viceversa in effetti).

Ammettendo, provvisoriamente, l'uso di parole "non specificate", tutto accade come se avessimo considerato solo che la "topologia locale" della geometria di Schwarzschild era "ipersferica" (che la sfera di Schwarzschild "contiene" una "palla B3"). L'abbiamo resa "ipertorica". Ecco perché ho proposto il termine "geometrie ipertoriche".

Abbiamo menzionato prima l'inversione dello spazio. Si negozia con i gruppi. Possiamo capirlo diversamente? Abbiamo visto che Lanturlu ha immerso la sua mano sinistra nella sfera della gola e ha visto uscire una mano destra. In effetti ogni atomo della sua mano ha seguito una geodetica "radiale", perpendicolare alla superficie.

Non dimentichiamo di menzionare di passaggio che questo sistema di rappresentazione non è isometrico. Come con la carta con un buco. Se misurassimo la distanza coperta nei due semi-spazi da un atomo di prova appartenente alla mano di Lanturlu (quella di Archibald Higgin nelle edizioni inglesi) non coinciderebbe con la distanza reale misurata con un pezzo di spago.

Torniamo alla figura mostrata in precedenza.

Qui abbiamo mostrato un arco geodetico AB che attraversa il cerchio della gola e la sua immagine nello spazio di rappresentazione planare sottostante. Il carattere non-isometrico della rappresentazione diventa ancora più evidente. Le lunghezze degli archi AB e A'B' sono molto diverse.

Ovviamente è abbastanza difficile immaginare di poter infilare uno spago nella sfera della gola di un passaggio ipertorico. Tendendo lo spago otterremmo una geodetica (linea del percorso più breve). Dopo tutto, se misurassimo la lunghezza dello spago nello spazio di rappresentazione 3d (Lanturlu che spinge il suo braccio) e decidessimo di misurare la lunghezza dello spago in questo spazio, troveremmo una lunghezza A'B' più corta. La lunghezza reale, misurata nell'ipersuperficie 3d, sarebbe più lunga, come mostrato nel disegno 2d. La rappresentazione 3d con Lanturlu è quindi non-isometrica, come lo è la rappresentazione planare sopra.

Con l'aiuto di qualche disegno questi concetti sottili, sviluppati dalla teoria dei gruppi, diventano meno ermetici a condizione di "vedere nello spazio". È quello che sto cercando di insegnarti a fare, vedere in uno spazio curvo 3d.

Torniamo alla questione dell'enantiomorfia, l'inversione degli oggetti quando attraversano la struttura della gola 2d o 3d. Immaginiamo geodetiche radiali in 2d. La parola è diventata scorretta perché in linea di principio un raggio è una linea retta che parte da un punto. In effetti si tratta di geodetiche a j costante. Vedi il disegno precedente che mostrava questa coordinata azimutale. Tuttavia, per maggiore concisione, continueremo a usare la parola "radiale" tra virgolette. Nota bene, la parola "radiale" è già un risultato della scelta dello spazio di rappresentazione. Immagina che una lettera R (che non è identica alla sua immagine speculare, alla sua immagine enantiomorfa) scivoli come un trasferibile mal fissato lungo il nostro passaggio torico, ciascuno dei suoi punti muovendosi secondo una geodetica. La lettera si ritroverà "dall'altra parte". È interessante guardare il risultato dell'operazione su una proiezione planare nello spazio di rappresentazione.

Abbiamo mostrato una sorta di nastro i cui bordi sono fatti di due geodetiche. Cosa notiamo? Nello spazio di rappresentazione la lettera R si inverte per diventare una "ia" russa, una R rovesciata, enantiomorfa. Stiamo iniziando a capire perché la mano di Lanturlu sembra invertirsi quando emerge nello "spazio di rappresentazione 3d", diventa enantiomorfa.