Ma esistono superfici che sono intrinsecamente singolari, possedendo singolarità che non sono dovute a una scelta di coordinate. Esempio a seguire: la singolarità conica.
Fusione di ghisa, come formulata nel 1917 da Schwarzschild in coordinate t, r, q, j (il tempo, una distanza radiale e due angoli, equivalenti a azimut e sito: coordinate "sferiche"), la sfera di Schwarzschild è singolare. Per un certo valore Rs della "coordinata radiale" r (supposta misurata da un "centro geometrico") questa metrica ci gioca brutti scherzi. Su questa sfera uno dei termini ha un denominatore nullo. In breve, è singolare su questa sfera. Si trattava di una singolarità intrinseca o di un artefatto indotto da una cattiva scelta di coordinate? È questa la domanda che ci siamo posti.
Notiamo di passaggio che la "geometria di Schwarzschild" è un'iper-superficie a quattro dimensioni, rendendo la cosa ancora più difficile.
Kruskal si è concentrato su questo punto. Ha costruito un cambiamento di coordinate che, tra l'altro, fornisce una velocità della luce costante lungo una traiettoria radiale. In questo modo concentra l'aspetto singolare "al centro dell'oggetto", in una "singolarità centrale". Psicologicamente, sembra di guadagnare. La soluzione diventa "regolare quasi ovunque", espressione che i matematici usano per dire che la soluzione è regolare, priva di patologie, tranne in un unico punto.
- Non vai a cercare guai, non mi cerchi briga, per un semplice punto.....
Purtroppo questa formulazione di Kruskal ha un grave difetto: non ridà lo spazio della relatività ristretta all'infinito. Tecnicamente, non è lorentziana all'infinito, "asintoticamente lorentziana".
È una questione essenziale in fisica: le singolarità esistono? La natura tollera le singolarità? La risposta si formula in termini di fede (come per l'esistenza o l'inesistenza dell'infinito, in effetti).
Abbiamo cercato una nuova interpretazione di questa stessa geometria di Schwarzschild cercando di eliminare ogni singolarità e ci siamo riusciti. La nostra risposta è quindi:
- Il carattere singolare della soluzione di Schwarzschild è semplicemente indotto da una cattiva scelta di coordinate.
Tecnicamente, tutto si basa sul cambiamento di variabile:
r = Rs + Log ch r
che si legge "r uguale Rs più logaritmo del coseno iperbolico della variabile r". Semplice per un scienziato, specialista o semplice taupin. Per chi sa maneggiare questa formula, la grandezza r non può più diventare inferiore a Rs, anche quando r assume tutte le possibili valori da meno infinito a più infinito.
Considerate una superficie ottenuta facendo ruotare una parabola attorno a una retta, come segue:
Questa figura è tratta dall'articolo. La superficie è infinita, in effetti, come la parabola meridiana che la genera ruotando attorno all'asse z, rappresentato. Se si vuole assolutamente rappresentarla con coordinate (r, z, j), ci si può aspettare problemi quando si chiederà "come è questa superficie per r < Rs ?"
Si troverà una risposta... immaginaria, con radici di quantità negative. Semplicemente perché si è allora "fuori dalla superficie".
Questa superficie, in matematica, è detta "non semplicemente connessa", termine barocco che indica semplicemente le superfici dove ogni curva chiusa non può vedere il suo perimetro ridursi, spostando la curva sulla superficie, fino a raggiungere il valore zero.
È possibile su una sfera, che è "semplicemente connessa". Ma su questa superficie si vede chiaramente che ogni curva chiusa che "fa un giro intorno a questa specie di pozzo centrale" non può vedere il suo perimetro tendere a zero, il limite essendo il perimetro del "cerchio di gola". Lo stesso vale per un toro, che è anche "non semplicemente connesso".
Abbiamo definito una tale superficie partendo dalla sua metrica, il che illustra molto bene il concetto. Mantenendo la coordinata r, questa superficie sembra singolare. Utilizzando il cambiamento di variabile dato sopra, non lo è più. A cosa corrisponde questa coordinata r? Essa "corre" semplicemente lungo la parabola meridiana come indicato nella figura, assume il valore zero sul cerchio di gola. Metà della superficie corrisponde a r positivo, l'altra a r negativo. Nel sistema di riferimento dei punti [r, j] non c'è più singolarità.
Abbiamo deciso di chiamare questo tipo di oggetto un "ponte torico", per analogia con il toro.
Ma si mostra facilmente, sempre partendo da metriche, che si può passare a un oggetto, una ipersuperficie 3d, che contiene un "ponte ipertorico". Non c'è allora più un cerchio di gola, ma una sfera di gola. Così come per la superficie sopra, un cerchio di gola sembrava mettere in comunicazione due fogli 2d, la sfera di gola mette ora in comunicazione due "semispazi 3d". Quando si è in uno di questi semispazi 3d e si entra nella sfera di gola, si emerge nell'altro semispazio.
Torniamo alla superficie 2d mostrata sopra. La figura seguente mostra che tracciando "cerchi che sembrano concentrici" si vede che il loro perimetro diminuisce, passa attraverso un minimo, e poi cresce nuovamente.
In 3d bisogna immaginare una sfera che circonda completamente la sfera di gola. Poi un'altra, all'interno di questa (si dovrebbe dire "oltre" seguendo una direzione data, verso questa sfera di gola). Si immagina che la superficie di questa sfera possa essere più piccola. Ma, quando si raggiunge la sfera di gola, l'area passa attraverso un minimo, e poi ricomincia a crescere... fino all'infinito, quando si prolunga l'operazione.
Abbiamo costruito le "metriche" di queste superfici 2d e 3d che contengono un "passaggio torico" e un "passaggio ipertorico" e, nel secondo caso, si è rimasti colpiti dalla somiglianza con la metrica di Schwarzschild, dove abbiamo quindi effettuato questo cambiamento di coordinate, facendo apparire il suo carattere "non semplicemente connesso", "l'interno" dell'oggetto diventando semplicemente "l'altro lato della sua sfera di gola".
È così stato possibile eliminare ogni singolarità.
A questo punto abbiamo semplicemente esteso il modello del buco nero a un "buco nero - fonte bianca". Ma, sempre per questo "osservatore esterno", il tempo di attraversamento di questo ponte ipertorico era sempre infinito. Sembravamo aver semplicemente migliorato il modello del buco nero spiegando su cosa si concludeva.
Abbiamo detto che la scelta delle variabili è, in una soluzione geometrica, totalmente arbitraria. Ma ciò che vale per lo spazio vale anche per il tempo. Siamo quindi andati a cercare un cambiamento di variabile temporale inventato da Eddington nel 1924:
Anche qui, lo menzioniamo per il scienziato o semplice taupin.
t è il vecchio "tempo cosmico", la vecchia "variabile cronologica" presente nella soluzione iniziale di Schwarzschild del 1917.
t' è questo nuovo "tempo di Eddington". Rs è il "raggio di Schwarzschild (si dovrebbe allora parlare del perimetro di Schwarzschild, diviso per 2p)."
c è la velocità della luce (qui, costante).
Cosa che può sembrare strana: si mescolano tempo e spazio ma, in materia, abbiamo tutti i diritti. La scelta della coordinata tempo, della coordinata di riferimento cronologico (time-marker) è totalmente arbitraria. Si richiede semplicemente:
-
che la metrica sia asintoticamente lorentziana, cioè che all'infinito lo spazio-tempo diventi lo spazio-tempo di Minkowski, quello della relatività ristretta. Nel nostro caso, funziona (non funziona da Kruskal).
-
che questo nuovo tempo t' si identifichi...