Qui, qui ha "dissolto" un po' la figura per renderla più leggibile. Una superficie è un oggetto 2d, qui "immerso" in uno spazio 3d, euclideo, ovvero in R3. Sopra, possiamo "vederla". Si trova che questa superficie è immergibile in questo spazio R3 "in modo isometrico". Cioè, se si attacca un nastro di nastro adesivo su di essa, questo si trova effettivamente su una geodetica che unisce due punti della superficie A e B. Inoltre, la lunghezza misurata lungo questo arco geodetico è corretta. È isometrico, etimologicamente "stessa lunghezza". In basso c'è uno spazio di rappresentazione 2d, che dà una rappresentazione che non è isometrica. La lunghezza dell'arco A'B' non è uguale a quella dell'arco AB. Costruite l'oggetto seguente, utilizzando un foglio di carta, una matita e un paio di forbici:
Questo disegno non è isometrico. Primo, la curva indicata non è evidentemente una geodetica del piano. Secondo, la lunghezza dell'arco AB non è "la vera lunghezza", quella che si misurerebbe su "la vera superficie", che "non è forata". Questo foglio forato non è che una rappresentazione comoda, nient'altro. Così come questa tecnica di disegnare un tratto sul lato anteriore del foglio e un altro sul retro, l'intera curva apparirà solo in trasparenza.
Nel disegno seguente, sono state rappresentate le geodetiche di questa superficie, calcolate al computer (che figura nell'articolo).
Le parti tratteggiate delle curve corrispondono ai rami che sono "dall'altra parte" (come se guardassimo la superficie "dall'alto").
Ora, una domanda: posso costruire una rappresentazione piana e isometrica di queste geodetiche? La risposta è sì. Abbiamo visto che possiamo cambiare la variabile r con la variabile r. Allora le geodetiche possono essere perfettamente rappresentate in un piano di "coordinate polari" (r, j). Le geodetiche (qui una geodetica non radiale) hanno l'aspetto seguente:
Questa rappresentazione è isometrica. Siano tre punti A, B, C appartenenti alla superficie, situati su una stessa geodetica. A', B' e C' sono i punti corrispondenti, in questa rappresentazione [r, j]. I punti A e B si trovano sulla stessa mezza falda e l'arco geodetico che li collega non attraversa il cerchio di gola. Misurata in questo piano, lungo l'immagine di questa geodetica (che ovviamente non è una geodetica di questo piano), la lunghezza dell'arco A'B' è uguale a quella dell'arco AB, misurata sulla superficie.
L'arco BC attraversa il cerchio di gola. Stessa cosa.
Ma questa isometria non si applica a tutte le geodetiche della superficie. Esiste una, unica nel suo genere: il cerchio di gola, ridotto qui a un punto. È l'unica geodetica di questa superficie che si richiude su se stessa.
Le geodetiche sono l'unico modo per comprendere una superficie o, in modo più generale, uno spazio non piano, non euclideo. Sono dei punti di riferimento affidabili (anche se abbiamo visioni distorte attraverso i nostri sistemi di rappresentazione 2d o 3d (in prospettiva). Queste geodetiche sappiamo che "esistono", che sono intrinseche. Quelle di una sfera, ad esempio, sono cerchi massimi. Riguardo allo spazio-tempo, questi sono popolati da un'infinità di geodetiche spazio-temporali. Queste geodetiche esistono in modo intrinseco e, per comprendere (etimologicamente: circondare, prendere tra le braccia), cerchiamo, come ciechi, a "sentire" queste geodetiche. Ma le linee di coordinate di tempo e spazio non hanno alcuna realtà intrinseca, così come i due insiemi di meridiani e paralleli non fanno parte integrante di una sfera. Non sono "fornite con". La geometria di Schwarzschild, soluzione dell'equazione del campo di Einstein, è un'ipersuperficie 4d. Su questa, i teorici hanno applicato famiglie di curve "a t costante", "a r costante", ecc.
Incisevi nella testa che questi gesti restano completamente arbitrari. Ma anche gli esperti di cosmologia teorica spesso perdono di vista questo punto, che i matematici-geometri devono ricordare di tanto in tanto. Era quindi perfettamente lecito cambiare le coordinate di spazio e tempo.
A questo punto, mi dirai: ma allora, cosa permette di dire che una scelta di coordinate è migliore di un'altra? Dove si trova il ragionevole e l'irragionevole? È una questione di gusto. Scegliere coordinate di spazio e tempo, è come applicare una visione fisica a un oggetto matematico. Nel caso della Terra, gli abbiamo dato i poli perché gira. Il polo nord è semplicemente il punto della superficie "Terra" la cui normale punta verso la stella polare, asteroide che rimane fermo nella volta stellata.
In merito all'isometria e non isometria, la cartografia illustra i problemi derivanti dalle tentativi di rappresentare una sfera su un piano. La proiezione di Mercatore (proiezione della sfera terrestre su un cilindro tangente lungo l'equatore) è molto piacevole per le persone che abitano vicino all'equatore. Al contrario, l'abitante di uno dei poli ha una brutta sorpresa: il suo territorio, puntiforme, si trasforma in una retta...
Esistono trentasei mila modi per proiettare una sfera su un piano. Immaginiamo questo:
Immaginiamo di produrre mappe geografiche su questo modello e di venderle. Successo immediato tra gli abitanti dei due poli: queste proiezioni sono allora, in quelle aree, quasi-isometriche. Molto comodo per farsi un'idea delle distanze in quei posti. Se la Terra fosse abitabile ai poli e relativamente ostile altrove, le mappe sarebbero probabilmente state create in questo modo. Si noterà che in quel caso, il cerchio di confine della proiezione piana non corrisponderà più all'equatore, ma a un parallelo (qui appartenente all'emisfero nord). Vicino a questa zona, la mappa sarà molto lontana dall'isometria. Inoltre, su questa mappa strana, una parte del territorio dovrà essere rappresentata con linee continue e l'altra con linee tratteggiate, poiché si trova al di là di quel parallelo, dove l'oggetto, stranamente, sembra "ripiombare". A meno di fornire mappe a forma di dischi, dove la prosecuzione del terreno apparirà sull'altro lato, sul retro della pagina.
Proviamo a "pensare tutto questo in 3d". Abbiamo rappresentato Lanturlu mentre introduce il braccio sinistro nella sfera di gola e abbiamo separato i due disegni, il che sembra evocare il fatto che questo secondo spazio 3d possa essere "altrove". Per essere più corretto, avrebbe dovuto sovrapporre i due disegni in prospettiva, rappresentando la mano (destra) che emerge "in tratteggio".
Ho provato a farlo, sebbene non sia stato estremamente facile. Si poteva anche usare due colori diversi, ad esempio rosso per ciò che sarebbe nel primo versante 3d del nostro spazio 3d non semplicemente connesso e verde per ciò che è nell'altro versante. Un Lanturlu rosso vedrebbe ad esempio uscire la mano sinistra rossa che ha immerso nella sfera di gola in forma di una mano verde "destra".
Peccato che Raymond Devos non si interessi di matematica. Anche se...
Evidentemente "dentro" la sfera di gola, non c'è nulla. Questa apparenza di interno, di contenuto volumetrico, è dovuta solo alla scelta di questo spazio di rappresentazione 3d. Allo stesso modo, all'interno del foro praticato nel foglio di carta, non c'era neanche carta. Non era che un incidente legato alla scelta di questo spazio di rappresentazione piano. Qualcuno che si ostinasse a usare questa rappresentazione piana senza rimuovere il disco tagliato nel foglio e che insistesse a...