A: Presentazione in HTM\PQ4.htm Proviamo ora (e queste figure vengono estratte dall'articolo) a concepire, sempre in uno spazio di rappresentazione 3D, un insieme di quattro piccole palline che formano un tetraedro (oggetto estremamente orientabile) che cade in una sfera di gola a forma di sfera, lungo delle "geodetiche radiali".
Esse "rimbalzano" su questa sfera di gola (secondo questa immagine derivata dalla scelta del nostro spazio di rappresentazione. In realtà, nell'iper superficie 3D, le geodetiche sono continue).
Ricordo, quando ero più giovane, si trovavano spesso palline cromate alla fine delle rampe delle scale. Se abiti in un appartamento dove si trova questo tipo di oggetto, potresti fare l'esperimento, grazie alle tue quattro mani, lanciando piccole palline d'acciaio su di esse.
Dopo il rimbalzo, le quattro palline formeranno un tetraedro rovesciato:
Si ingrandirà il tetraedro per poter meglio osservare questa inversione. Nella sua configurazione iniziale si presenta così:
Si "orientano" le sue facce. Ad esempio si dà un senso di percorrenza ADB, ecc. in modo che, assimilando questo "movimento" a quello di un cacciavite, la punta del cacciavite sia verso l'esterno (freccia). Le quattro facce sono così orientate. Confrontiamo ora questo tetraedro con quello formato dalle palline che hanno "rimbalzato" sulla sfera di gola:
L'orientamento delle facce è stato invertito. Se il mio disegno fosse stato più preciso, i due oggetti potrebbero essere posti da una parte e dall'altra di uno specchio, l'uno essendo l'immagine enantiomorfa dell'altro.
Per Schwarzschild, è la stessa cosa: gli oggetti riappaiono "dall'altra parte", e se potessimo "vederli in trasparenza", apparirebbero enantiomorfi. Ma non possiamo vederli "in trasparenza". Per "vedere" sarebbe necessario che i fotoni possano mettere in comunicazione due regioni "adiacenti" di questi due "versanti di spazio-tempo", che sono quindi P-simmetrici.
Passando, cosa succede alle traiettorie "non radiali"? Il calcolo delle geodetiche dà traiettorie piane, che "rimbalzano" sulla sfera di Schwarzschild. Vedi disegno seguente.
Resta questa questione della variabile tempo, brevemente accennata sopra. Come ti ho detto, in materia di scelta delle variabili, abbiamo tutti i diritti. Questa scelta rimane completamente arbitraria, poiché l'oggetto, l'iper superficie spazio-temporale è "invariante rispetto alle coordinate", esiste indipendentemente dalla scelta che si fa per le coordinate che servono a individuare i punti che vi si trovano, che sono "punti-eventi", punti di un oggetto spazio-temporale, di una iper superficie 4D.
Ma allora, che cos'è il tempo, che cos'è lo spazio, se tutto è così arbitrario?
C'è un tempo al quale non si può toccare, che è l'unico scalare intrinseco dell'iper superficie: è il tempo proprio. Il tempo proprio è la "lunghezza" in questa iper superficie spazio-temporale. Si suppone che gli oggetti possano muoversi solo lungo geodetiche (4D). Su una geodetica si prende una coppia di punti (A, B). La lunghezza Ds che separa questi due eventi, divisa per c, una costante, in particolare la velocità della luce in una regione lontana dalla sfera di gola, è l'intervallo di tempo proprio Dt che separa questi due "eventi", e ciò che importa è che non dipende dal sistema di coordinate spazio-temporali scelto. Questa quantità Dt è l'unica che abbia un significato fisico intrinseco.
Immagina di camminare sulla superficie terrestre, lungo una geodetica (un cerchio massimo), da un punto A a un punto B. Se dici:
- Sono andato da un punto di longitudine jA e latitudine qA a un punto di longitudine jB e latitudine qB
che significato avrebbero le quantità (jB - jA) e (qB - qA)? Sarebbero dipendenti dai punti in cui hai deciso di collocare i tuoi poli, dalla tua scelta di coordinate di riferimento. Tuttavia, se dici:
- Ho percorso 2347 chilometri su questa geodetica.
Questa misura avrebbe un senso qualsiasi sia il sistema di coordinate scelto.
Abbiamo visto con la sfera che si possono installare coordinate che fanno apparire una o più singolarità. Un polo è un luogo dove la longitudine j non è più definita. Abbiamo visto anche che, con un semplice cambio di coordinate, si può far scomparire una "regione indesiderata di una superficie" (dove r < Rs) e dove si troverebbe un elemento di lunghezza Ds immaginario puro. È infatti il fatto che, nella sua formulazione iniziale, la metrica di Schwarzschild conduca a un elemento di lunghezza (tempo proprio), immaginario puro, che ci ha fatto supporre di essere allora "fuori dall'iper superficie". Non esiste un sistema di coordinate assoluto. Ma si può decidere di optare per una scelta di una coordinata spaziale che abbia almeno il merito di far scomparire le singolarità, come abbiamo fatto. Non esiste neppure un "tempo cosmico assoluto". Con Midy, nel nostro ultimo articolo, citato sopra, abbiamo dimostrato che la "singolarità iniziale", considerata "l'istante della creazione del nostro universo", derivava da una scelta particolare della variabile di riferimento del tempo e che un'altro scelta, non solo conservava tutti gli osservabili, a cominciare dal redshift, ma faceva scomparire questa singolarità iniziale, come il peccato del medesimo nome. La domanda "che cosa c'era prima del Big Bang?" perde allora senso. Sconcertante, lo ammetto, ma la domanda deriva da un paradigma spazio-temporale. È equivalente a: "che cosa c'è al centro di un buco nero?" È quindi perfettamente lecito cambiare la coordinata temporale, utilizzando "il tempo di Eddington" (il cambiamento di variabile è stato indicato sopra), nella misura in cui permette di collegare questa struttura geometrica locale con lo spazio-tempo di Minkowski, quello di uno spazio relativistico (nel senso della relatività ristretta) piatto, senza curvatura, vuoto. Ma l'idea è di poter descrivere l'intero spazio-tempo con una sola metrica. Il filo conduttore si trova nuovamente nella teoria dei gruppi e nell'esame del "gruppo di isometria" della metrica di Schwarzschild.
Il gruppo di isometria nasconde l'insieme delle trasformazioni geometriche che lasciano invariata la metrica (e quindi l'iper superficie invariata). Il gruppo di isometria dell'oggetto sfera è il gruppo delle rotazioni nello spazio più le simmetrie (rispetto a un piano o un asse passante per il suo centro, rispetto a un punto che è il centro). Si chiama questo gruppo O3 (abbreviazione di "gruppo ortogonale di dimensione 3". Vedere l'introduzione di Geometrical Physics B). Contiene tutto questo. Ma se si tolgono le simmetrie rispetto a un asse, un piano, un punto, diventa SO3 (gruppo "ortogonale speciale di dimensione tre").
La geometria di Schwarzschild ha simmetrie. Finora si era soliti attribuirle la simmetria SO3 (rotazioni nello spazio). Ma in realtà essa ha per gruppo di isometria O3, quindi contiene la P-simmetria (simmetria rispetto a un punto). Riprendi il tetraedro di poco fa. Il suo simmetrico rispetto a un punto è enantiomorfo, P-simmetrico del primo.
Nella sezione sui gruppi del sito abbiamo mostrato come il gruppo "secreta lo spazio" o più precisamente "secreta gli oggetti geometrici". Souriau lo chiama "specie" del gruppo. Così non è la sfera che genera il gruppo SO3, ma il contrario. Le sfere sono le specie di questo gruppo. Specie nel senso tassonomico del termine (Larousse. Tassonomia: scienza della classificazione delle specie). Abbiamo detto che capita spesso ai fisici di fare matematica senza saperlo e viceversa. La fisica relativ...