Ma esistono superfici che sono intrinsecamente singolari, possedendo

Ma esistono superfici che sono intrinsecamente singolari, possedendo singolarità che non sono dovute a una scelta di coordinate. Esempio qui sotto: la singolarità conica.

Grezza di fonderia, così come formulata nel 1917 da Schwarzschild in coordinate t, r, q, j (il tempo, una distanza radiale e due angoli, equivalenti ad azimut e sito: coordinate "sferiche") la sfera di Schwarzschild è singolare. Per un certo valore Rs della "coordinata radiale" r (che si suppone misurata da un "centro geometrico") questa metrica ci gioca i peggiori scherzi. Su questa sfera uno dei termini ha un denominatore nullo. In breve, è singolare su questa sfera. Si trattava di una singolarità intrinseca o di un artefatto indotto da una cattiva scelta di coordinate? È la domanda che ci siamo posti.

Notiamo di passaggio che la "geometria di Schwarzschild" è un'ipersuperficie a quattro dimensioni, il che rende la cosa ancora più malagevole.

Kruskal si è focalizzato su questo punto. Ha costruito un cambiamento di coordinate che, tra l'altro, fornisce un valore costante della velocità della luce lungo una traiettoria radiale. Facendo ciò concentra l'aspetto singolare "al centro dell'oggetto", in una "singolarità centrale". Psicologicamente, si ha l'impressione di guadagnarci. La soluzione diventa "regolare quasi ovunque", espressione che i matematici usano per dire che la soluzione è regolare, esente da patologia, salvo in un unico punto.

Non starete a cavillare, a cercarmi lite, per un semplice punto.....

Purtroppo questa formulazione di Kruskal ha un grave difetto: non ridà lo spazio della relatività ristretta all'infinito. Tecnicamente, non è lorentziana all'infinito, "asintoticamente lorentziana".

È una questione essenziale in fisica: le singolarità esistono? La Natura tollera delle singolarità? La risposta si formula in termini di credenza (come per l'esistenza o l'inesistenza dell'infinito, del resto).

Abbiamo cercato una nuova interpretazione di questa stessa geometria di Schwarzschild provando a eliminare ogni singolarità e ci siamo riusciti. La nostra risposta è dunque:

Il carattere singolare della soluzione di Schwarzschild è semplicemente indotto da una cattiva scelta di coordinate.

Tecnicamente, tutto si basa nel cambiamento di variabile:

r = Rs + Log ch r

che si legge "r uguale Rs più logaritmo del coseno iperbolico della variabile r". Semplice a parte per lo scienziato, lo specialista o il semplice studente. Per chi sa maneggiare questa formula, la grandezza r non può allora più diventare inferiore a Rs, anche quando r assume tutti i valori possibili da meno infinito a più infinito.

Considerate una superficie che sia ottenuta facendo ruotare una parabola attorno a una retta, come questo:

Questa figura è tratta dall'articolo. La superficie è infinita, in effetti, come la parabola-meridiana che la genera ruotando attorno all'asse z, figurato. Se si tiene assolutamente a rappresentarsela con coordinate (r,z,j) ci si può aspettare dei guai quando ci si domanderà "com'è questa superficie per r < Rs?"

Si troverà una risposta .. immaginaria, con radici di quantità negative. Semplicemente perché si è allora "fuori superficie".

Questa superficie, in matematica, è detta "non semplicemente connessa", termine barbaro che designa semplicemente le superfici dove ogni curva chiusa non può vedere il proprio perimetro decrescere, facendola scorrere nella superficie, fino a prendere il valore zero.

È possibile su una sfera, che è "semplicemente connessa". Ma su quella superficie si vede bene che ogni curva chiusa che "fa un giro attorno a questa specie di pozzo centrale" non potrà vedere il proprio perimetro tendere verso zero, il limite essendo il perimetro del "cerchio di gola". Stessa cosa per un toro, che è anch'esso "non semplicemente connesso".

Abbiamo definito una tale superficie partendo dalla sua metrica, il che illustra molto bene il discorso. Mantenendo la coordinata r, questa superficie sembra singolare. Usando il cambiamento di variabile dato qui sopra, non lo è più. A cosa corrisponde questa coordinata r? Essa "corre" semplicemente lungo la parabola meridiana come indicato sulla figura, prende il valore zero sul cerchio di gola. La metà della superficie corrisponde a r positivo, l'altra a r negativo. Nel sistema di riferimento dei punti [r , j ] non c'è più singolarità.

Abbiamo deciso di chiamare questo tipo di oggetto un "ponte torico", per analogia con il toro.

Ma si mostra facilmente, sempre partendo da metriche, che si può passare a un oggetto, un'ipersuperficie 3d, che comporta un "ponte ipertorico". Non c'è allora più un cerchio di gola, ma una sfera di gola. Come per la superficie qui sopra, un cerchio di gola sembrava mettere in comunicazione due falde 2d, la sfera di gola mette allora in comunicazione due "semispazi 3d". Quando si è in uno di questi semispazi 3d e si piomba nella sfera di gola, si emerge nell'altro semispazio.

Torniamo alla superficie 2d mostrata più sopra. Il disegno qui sotto mostra che tracciando "dei cerchi che si crede concentrici" si vede il loro perimetro diminuire, passare per un minimo, poi crescere di nuovo.

In 3d bisogna immaginare una sfera che circonda completamente la sfera di gola. Poi un'altra, all'interno di questa (si dovrebbe dire "al di là" seguendo una direzione data, verso questa sfera di gola). Si immagina che la superficie di questa sfera possa essere più piccola. Ma, quando si raggiunge la sfera di gola, l'area passa per un minimo, poi ricomincia a crescere... fino all'infinito, quando si prolunga l'operazione.

Abbiamo costruito le "metriche" di queste superfici 2d e 3d comportanti un "passaggio torico" e un "passaggio ipertorico" e, nel secondo caso, siamo stati colpiti dalla somiglianza con la metrica di Schwarzschild, dove abbiamo dunque operato questo cambiamento di coordinate, facendo apparire il suo carattere "non semplicemente connesso", "l'interno" dell'oggetto diventando semplicemente "l'al di là della sua sfera di gola".

È così stato possibile eliminare ogni singolarità.

A questo stadio abbiamo semplicemente esteso il modello del buco nero a un tandem "buco nero-fontana bianca". Ma, sempre per questo "osservatore esterno", il tempo di traversata di questo ponte ipertorico era sempre infinito. Sembravamo aver semplicemente migliorato il modello del buco nero spiegando su cosa sboccava.

Abbiamo detto che la scelta delle variabili era, in una soluzione geometrica, totalmente arbitraria. Ma ciò che vale per lo spazio vale anche per il tempo. Siamo dunque andati a cercare un cambiamento di variabile temporale inventato da Eddington nel 1924:

Anche qui, lo menzioniamo per lo scienziato o il semplice studente.

t è l'antico "tempo cosmico", l'antica "variabile cronologica" presente nella soluzione iniziale di Schwarzschild, del 1917.

t' è questo nuovo "tempo di Eddington". Rs è il "raggio di Schwarzschild (si dovrebbe allora parlare di perimetro di Schwarzschild, diviso per 2p).

c è la velocità della luce (qui, costante).

Cosa che può sembrare strana: si mescolano tempo e spazio ma, in materia, si hanno tutti i diritti. La scelta della coordinata tempo, della coordinata di riferimento cronologico (time-marker) è totalmente arbitraria. Si chiede semplicemente:

alla metrica di essere asintoticamente Lorentziana, cioè che all'infinito, lo spazio tempo diventi lo spazio tempo di Minkowski, quello della relatività ristretta. Nel nostro caso, funziona (non da Kruskal).
a questo nuovo tempo t' di identificarsi, sempre all'infinito, al "tempo proprio di un osservatore supposto immobile". È anche il caso (non da Kruskal)

Facendo ciò il tempo di caduta libera di una particella-testimone, immobile all'infinito e cadente verso la sfera di Schwarzschild, diventa infinito, rispetto al tempo vissuto dall'"osservatore esterno", che è lontano e immobile.

La particella, per contro, emergerebbe da questo "aven" in un tempo infinito. Come nel buco nero si può dunque entrare in questa sorta di aven 3d, ma non uscirne, se non in un tempo infinito.

L'altro lato è una "risorgenza". Ma, con una tale scelta del tempo (t') la particella emerge da questa risorgenza in un tempo infinito, mentre può penetrarvi in un tempo finito. C'era qualcosa che si inceppava. La soluzione è consistita nell'effettuare, cosa che si ha perfettamente il diritto di fare, una sorta di doppio cambiamento di variabile. Per il pezzo di spazio tempo che si suppone essere il nostro:

Nell'"universo gemello":

Il meccanismo cosmico funziona allora perfettamente.

Nessuna singolarità.
Si può entrare nell'"aven" ma non uscirne (buco nero)
Si può uscire dalla risorgenza, ma non penetrarvi (fontana bianca).

Bene, mi direte, si progredisce....

Sì e no. Il tempo di transito della materia in questo passaggio ipertorico è di qualche decina di millisecondi, e questo Moloch è capace di inghiottire qualsiasi cosa, dieci masse solari, per esempio, in meno tempo di quanto ne serva a un proiettile per attraversare una carta da gioco.

La conclusione è che attraverso questa reinterpretazione più razionale della soluzione geometrica i buchi neri non potrebbero esistere. Sono delle ... finzioni matematiche. Potevano esistere solo in virtù di questo "congelamento del tempo". Ora con questo "tempo di Eddington" che soddisfa tutte le esigenze della fisica, il tempo di transito diventa finito.

Conclusione: questa geometria di Schwarzschild non sarebbe, secondo noi, che un'immagine istantanea di un processo instazionario di trasferimento iperspaziale. È un po' come se vi si mostrasse la foto di un'incudine che qualcuno avesse lanciato in aria e voi concludeste che le incudini possono fluttuare nell'aria. La soluzione di Schwarzschild è anche soluzione di un'equazione che implica che l'universo sia perfettamente vuoto, che la densità di energia materia sia nulla in ogni punto. È allora un po' come se vi si mostrasse la foto di un campo di calcio, scattata quando i giocatori sono andati a riposarsi durante l'intervallo di metà partita e voi concludeste che il calcio si gioca su un campo.. vuoto.

Ma allora, cosa succederebbe?

Abbiamo mostrato che durante il passaggio della sfera di gola la coordinata tempo si invertiva. Se si chiama t' il tempo (di Eddington) corrispondente al nostro "versante di spazio-tempo" e t'* il "marcatore di tempo" dell'universo gemello, si ha:

t'* = - t'

Notiamo che Andrei Sakharov è stato il primo a suggerire nel 1967 che si creassero al momento del "Big Bang" due universi gemelli aventi tempi opposti.

Restava da sapere cosa significasse il senso di questa "inversione del tempo". Voleva forse dire che quando si piombava nell'universo gemello si ringiovaniva? Abbiamo mostrato che no. Si "porta con sé il proprio tempo proprio" e se si rispuntasse un po' più lontano per una struttura simmetrica, non si emergerebbe più giovani di quando si è entrati in questo universo gemello. Impossibile "uccidere il proprio padre" come nel tema del "Viaggiatore imprudente", di Barjavel.

I gruppi, ancora, ci hanno permesso di elucidare il senso "ontologico" di questa inversione della coordinata tempo. Quando una particella piomba nell'universo gemello, la sua azione gravitazionale si fa sempre sentire, ma il suo contributo al campo gravitazionale diventa allora negativo. La sua "massa gravifica" si inverte.

Di passaggio, ciò giustifica totalmente il modello sviluppato nel sito e nell'opera "On a perdu la moitié de l'univers" (Albin Michel). Le masse che si aggirano nell'universo gemello si comportano rispetto alle masse presenti nel nostro come delle masse repulsive. La dinamica completa è:

Nel nostro universo le masse si attraggono secondo Newton
Nel gemello le masse si attraggono secondo Newton
Quando delle masse situate in due porzioni "adiacenti" dello spazio tempo interagiscono, si respingono.

È una semplice conseguenza di questa inversione della variabile temporale (ma non del tempo proprio).

I gruppi mostrano anche che la dualità materia antimateria esiste nei due universi, come congetturato da Andrei Sakharov.

Quando una particella di materia riesce a passare nell'universo gemello (si vedrà più avanti come) resta materia, ma "CPT simmetrica". È il senso del famoso "teorema CPT" della fisica (mai dimostrato. Ciò che Souriau chiama un "teorema da fisico"). Classicamente i fisici dicono "la CPT simmetrica della materia è identica alla materia". Per CPT simmetria, intendere:

La particella, in questo nuovo riferimento, cammina a "ritroso nel tempo": T-simmetria.
È enantiomorfa, invertita destra-sinistra, "allo specchio": P-simmetria.
Tutte le sue "cariche" sono invertite, compresa la sua carica elettrica, se ne possiede una. È la C-simmetria.

Per noi, la CPT simmetrica di una particella è una particella del gemello (o passata nel gemello). È una particella gemellare. Poiché c'è T-simmetria, la sua massa è automaticamente invertita (risultato inizialmente ottenuto da J.M.Souriau nel 1974).

La C-simmetrica di una particella è la sua antiparticella.

Feynman aveva trovato che la PT-simmetrica di una particella si comportava come un'antiparticella. Esatto, ma si tratta di .. antimateria del gemello, a massa negativa (poiché c'è anche T-simmetria). Tutto ciò emerge da storie di gruppi Questo lavoro fa il legame con tutto ciò che era stato pubblicato fino a qui (nel sito, vedere Geometrical Physics B alla rubrica "geometrizzazione dell'antimateria"). Si può illustrare in modo parlante questa faccenda di inversione dello spazio. Nel paper, si insiste parecchio sulla nozione di spazio di rappresentazione. È lo spazio nel quale ci rappresentiamo mentalmente gli oggetti geometrici. Abbiamo usato più sopra un'immagine dove si vedeva Lanturlu infilare la sua mano in questa sfera di gola, la quale sembrava emergere in un altro universo 3d. Per comodità di disegno si sono separate le due figure. Ma c'è una cosa che senza dubbio non avrete notato di primo acchito: Lanturlu infila in questa sfera una mano sinistra ed è una mano destra che ne emerge. Ciò non era stato fatto per caso.

Dov'è questo secondo universo?

È incastrato nel nostro, cosa difficile da comprendere. Ma questo sarà più semplice tornando alla superficie 2d, al "flatland".

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