Qui,
si è un po' "sgrassata" la figura per renderla più leggibile. Una
superficie è un oggetto 2d, qui "immerso" in uno spazio 3d, euclideo,
altrimenti in R3. Sopra, possiamo "vederla". Accade
che questa superficie sia immergibile in questo spazio R3 "in maniera isometrica".
Cioè che se ci si attacca sopra un nastro adesivo, questo si iscrive
effettivamente su una geodetica che congiunge due punti della superficie A e B.
Inoltre, la lunghezza misurata lungo questo arco geodetico è anch'essa corretta.
È iso-metrico, etimologicamente "stessa lunghezza". In basso si trova
uno spazio di rappresentazione 2d, che dà una rappresentazione che non è isometrica.
La lunghezza dell'arco A'B' non è uguale a quella dell'arco AB. Fabbricate l'oggetto
seguente, con l'aiuto di un foglio di carta, di una matita e di un paio di forbici
:
Questo disegno non è isometrico . Primo la curva indicata non è con
tutta evidenza una geodetica del piano. Secondo la lunghezza dell'arco AB non è
"la vera lunghezza", quella che si misurerebbe sulla "vera
superficie", che "non è bucata". Questo foglio di carta bucato
non è che una rappresentazione comoda, niente di più. Così come questa tecnica
consistente nel disegnare un tratto sul recto del foglio e l'altro sul suo verso,
l'insieme della curva apparendo solo in trasparenza.
Nel disegno seguente si sono figurate le geodetiche di questa superficie, calcolate
dal computer (che figura nell'articolo).
Le parti tratteggiate delle curve corrispondono ai rami che sono "dall'altro
lato" (come se si guardasse la superficie "dall'alto").
Ora, una domanda : posso costruire una rappresentazione piana e isometrica
di queste geodetiche ? La risposta è sì. Abbiamo visto che potevamo cambiare
la variabile r nella variabile r. Allora le geodetiche possono perfettamente essere
figurate in un piano di "coordinate polari" ( r , j
). Le geodetiche (qui una geodetica non radiale) hanno l'aspetto seguente
:
Questa rappresentazione è isometrica. Siano tre punti A , B , C appartenenti
alla superficie, situati su una stessa geodetica. A' , B' e C' sono i punti
omologhi, in questa rappresentazione [ r , j ].
I punti A e B sono situati sulla stessa semivolta e l'arco geodetico che
li congiunge non attraversa il cerchio di gola. Misurata in questo piano, lungo
l'immagine di questa geodetica (che non è evidentemente una geodetica di questo
piano), la lunghezza dell'arco A'B' è uguale a quella dell'arco AB, misurata nella
superficie.
L'arco BC
attraversa la sfera di gola. Stessa cosa.
Ma questa isometria non si applica a tutte le geodetiche della superficie.
Ne esiste una, unica nel suo genere : il cerchio di gola, qui ridotto a un
punto È la sola geodetica di questa superficie che si richiude su se stessa.
Le geodetiche sono il nostro solo modo di comprendere una superficie o più generalmente
uno spazio non piano, non euclideo. Sono dei riferimenti affidabili (anche se
ne abbiamo una visione distorta attraverso i nostri sistemi di rappresentazione 2d o
3d (in prospettiva). Queste geodetiche, sappiamo che "esistono",
che sono intrinseche. Quelle di una sfera sono per esempio dei grandi cerchi.
Trattandosi di spazio-tempo, questi sono popolati di un'infinità di geodetiche
spazio-temporali. Queste geodetiche esistono intrinsecamente e, per comprendere
(etimologicamente : stringere, prendere tra le braccia) cerchiamo, come dei
ciechi, di "palpare" queste geodetiche. Ma le linee di coordinate
di tempo e di spazio non hanno alcuna realtà intrinseca, così come i due
insiemi meridiani e paralleli non fanno parte integrante di una sfera.
Non sono "forniti con". La geometria di Schwarzschild, soluzione
dell'equazione di campo di Einstein, è un'ipersuperficie 4d. Su di essa i teorici
hanno applicato famiglie di curve "a t costante", "a r costante",
ecc.
Imprimetevi in testa che questi gesti restano totalmente arbitrari. Ma
anche gli specialisti di cosmologia teorica perdono spesso coscienza di
questo punto, che devono loro ricordare di tanto in tanto i matematici-geometri.
Era dunque perfettamente lecito cambiare coordinate di spazio e di tempo.
A questo stadio, mi direte : ma allora, che cosa permette di dire se tale
scelta di coordinate è migliore di tale altra ? Dove si trovano il ragionevole
e l'irragionevole ? È una questione di gusto. Scegliere delle coordinate di spazio
e di tempo, è applicare una visione fisica su un oggetto matematico. Nel
caso della Terra, le abbiamo dato dei poli perché ruota. Il
polo nord è semplicemente il punto della superficie "Terra" la cui normale
punta verso la stella polare, astro che resta fisso nella volta stellata.
A proposito di isometria e di non isometria, la cartografia illustra i problemi
che risultano dai tentativi di rappresentare una sfera su un piano. La proiezione
di Mercatore (proiezione della sfera terrestre su un cilindro tangente lungo
l'equatore) è molto gradevole per le persone che abitano vicino all'equatore.
Invece l'abitante di uno dei poli ha una brutta sorpresa : il suo dominio, puntuale,
si trasforma in una retta...
Ci sono trentaseimila modi di proiettare una sfera su un piano. Immaginiamo
questo :
Immaginiamo di fabbricare carte geografiche su questo modello e di
venderle. Successo immediato presso gli abitanti dei due poli : queste proiezioni
sono allora, in quelle regioni, quasi-isometriche. Molto comodo per farsi
un'idea delle distanze in quei posti. Se la Terra fosse stata abitabile sui
suoi poli e relativamente inospitale altrove, le carte sarebbero senza
dubbio state create in questo modo. Si noterà che allora il cerchio di frontiera
della proiezione piana non corrisponde più all'equatore, ma a un parallelo
(qui appartenente all'emisfero nord). In prossimità di questa regione, la carta
sarà molto lontana dall'isometria. Inoltre, su questa carta bizzarra, una parte
del territorio dovrà essere figurata in tratto pieno e l'altra in puntinato, poiché
si situa al di là di questo parallelo dove l'oggetto, stranamente, sembra "ripiegarsi".
A meno di fornire carte che siano a forma di dischi
e dove il seguito del terreno figurerebbe sull'altra faccia, sul verso del foglio.
Proviamo a "pensare tutto questo in 3d". Abbiamo rappresentato Lanturlu
mentre immerge il suo braccio sinistro nella sfera di gola e abbiamo separato
i due disegni, il che sembra evocare il fatto che questo secondo spazio 3d possa
essere "altrove". Per essere più corretti, si sarebbero dovuti sovrapporre
i due disegni in prospettiva rappresentando la mano (destra) che emerge
"in puntinato".
Ho provato a farlo, benché non sia stato estremamente facile. Si sarebbe
potuto anche usare due colori differenti, per esempio rosso per ciò che sarebbe
nel primo versante 3d del nostro spazio 3d non semplicemente connesso e verde
per ciò che è nell'altro versante. Un Lanturlu rosso vedrebbe allora per esempio
spuntare la mano rossa, sinistra, che ha immerso
nella sfera di gola sotto forma di una mano verde "destra".
Peccato che Raymond Devos non si interessi di matematica. Benché...
Evidentemente "dentro" la sfera di gola, non c'è nulla. Questa apparenza
di interno, di contenuto volumetrico, è dovuta solo alla scelta di questo spazio di rappresentazione
3d. Così come all'interno del buco praticato nel foglio di carta non c'era
neppure carta. Era solo un incidente legato alla scelta di questo
spazio di rappresentazione piano. Qualcuno che si ostinasse a usare questa
rappresentazione piana senza togliere il disco ritagliato nella carta e che persistesse
a domandare "che cosa c'è dentro ?" sarebbe "fuori strada"
(o piuttosto... dentro). Questo disco "non esiste".
Torniamo al 3d. Quando Lanturlu immerge il suo braccio nella sfera di gola, questa
non ha neppure un interno. Questa apparenza di interno è dovuta solo a questa scelta
di spazio di rappresentazione. Si potrebbe considerare che Lanturlu e la sua mano emergente
siano stati disegnati su un foglio di carta possedente tre dimensioni, dove
si sarebbe tolto.. una sfera (equivalente 3d del disco del foglio di carta).
Matematicamente, un disco è una "palla b2" e una "sfera
volume" una "palla b3". Si chiama "palla" una cellula
contraibile (vedere il Topologicon, nel "CD-Lanturlu") cioè
un oggetto che può contrarsi secondo un punto percorrendosi esso stesso. Questi
esempi 2d e 3d sono lì per illustrare il piano d'attacco seguito nell'articolo
: la sfera di Schwarzschild non ha "interno", né "centro".
Quando la si attraversa (passaggio ipertorico) ci si ritrova in un "altro
versante di spazio-tempo".
Qual è la giustificazione di questa nuova interpretazione della "geometria
di Schwarzschild" ?
Risposta : l'eliminazione delle singolarità. Kruskal, con il suo "prolungamento
analitico", si è dato da fare per penetrare a ogni costo "dentro"
questa benedetta sfera. È riuscito solo a comprimere la singolarità (ruolo inizialmente
tenuto dalla sfera di Schwarzschild) in un punto situato "al centro di questo
oggetto". Ci si è accontentati di questo gioco di prestigio. Ma pensiamo
che senza singolarità, sia comunque meglio.
La Natura protesta, quando la si guarda sotto l'angolazione sbagliata, secernendo
delle singolarità. È così che vediamo le cose. È un punto
di vista a priori sul "reale". Pensiamo che le singolarità non esistano
in natura. Pensiamo anche che l'infinito non esista neppure. Ma,
come direbbe Kipling, questa è un'altra storia. Ho avuto con Souriau delle
discussioni agitate su questa questione un anno fa.
-
Che cosa mi prova che l'infinito esiste ? ....
-
Ma, senza infinito, non ci sono più matematica ! ....
-
L'infinito, l'hai già incontrato ? L'hai già visto, tenuto in mano ?
-
È una .... comodità.
-
Si generano numeri infinitamente grandi supponendo che si possa aggiungere
1 a un numero, indefinitamente. Dunque ci si serve di un infinito sequenziale per
generare un infinito numerico. Si morde la coda, la tua cosa. -
Bene, diciamo che è una comodità. L'uomo ha inventato due cose importanti
nel corso della sua storia : l'infinito e i cessi....
Non credo neppure che l'infinitamente piccolo esista, né fisicamente, né
matematicamente. Ma ciò sarà oggetto di altri scritti. Lasciamo per il
momento da parte queste questioni. Semplice digressione.
Di passaggio, vedere "Scale Invariant Cosmology" di P.Midy e J.P.Petit,
International Journal of Modern Physics D, giugno 1999, pagine 271-280 dove
abbiamo fatto sparire "la singolarità iniziale dell'universo". È
una riformulazione più costruita matematicamente dell'idea che avevo pubblicato
nell'88-89 in Modern Physics Letters A (scritti sul sito).
Spero che quando leggerete queste righe avremo avuto il tempo, con l'aiuto
dei signori Lecot o Boland, di includere questo nuovo articolo nel sito. Ma in
ogni caso, anche se questo lavoro vi si trovasse riprodotto, non avventuratevici.
Come aveva inscritto credo Archimede all'ingresso di un santuario-scienza
"nessuno entri qui che non sia geometra". Sono tensori e compagnia,
campo in cui Midy si delizia, ma è anche indigesto come il pudding
inglese.
Si vede dunque, attraverso questo discorso, che la visione fisica che abbiamo dei
fenomeni deriva dal modo in cui abbiamo deciso di rappresentarceli.
Abbiamo, modificando le coordinate spaziali, cambiato di "topologia
locale", parola che meriterebbe di essere precisata matematicamente, dice Souriau.
In fatto, questa frase è un dolce eufemismo : si è semplicemente messo a urlare
quando ho pronunciato questa parola. Il suo gatto Pioum e io abbiamo avuto tutte le pene
del mondo a calmarlo. Souriau è il Tornasole della matematica. Pratica
volentieri l'indignazione matematica portata al suo colmo. Ma questi accessi di indignazione
non sono da confondere con la collera nel senso triviale del termine. Sarei piuttosto
"Monsieur Jourdain", in questo campo. I fisici fanno spesso
della matematica senza saperlo (e viceversa, del resto).
Ammettendo, provvisoriamente, l'uso di parole "non precisate", tutto
si svolge come se si fosse considerato finora che la "topologia locale"
della geometria di Schwarzschild fosse "ipersferica (che la sfera di
Schwarzschild "contenesse" una "palla b3"). L'abbiamo
resa "ipertorica". È la ragione per cui ho proposto
la denominazione (non controllata) di "geometrie ipertoriche".
Si è evocata più sopra l'inversione dello spazio. Ciò si negozia con i gruppi.
Si può comprendere questo altrimenti ? Si è visto che Lanturlu, immergendo il suo braccio
sinistro nella sfera di gola, vedeva spuntare ... una mano destra. In fatto,
ogni atomo della sua mano ha seguito una geodetica "radiale", diretta
perpendicolarmente alla superficie.
Notiamo di passaggio, avevamo dimenticato di dirlo, che questo modo di rappresentazione
non è isometrico. Come per il trucco della carta bucata, poco fa. Se
si misurasse la lunghezza percorsa da un atomo-testimone appartenente alla mano
di Lanturlu nei due semispazi, ciò non coinciderebbe con la vera
lunghezza che si può calcolare con uno spago.
Riprendiamo un disegno dato più sopra.
Qui, abbiamo figurato un arco geodetico AB che attraversa il cerchio di gola,
e la sua immagine nello spazio di rappresentazione piana, in basso. Il carattere di
rappresentazione non isometrica appare allora ancora più chiaramente. Le lunghezze
degli archi AB e A'B' sono molto differenti.
È evidentemente abbastanza difficile immaginare che si possa infilare uno spago
nella sfera di gola di un passaggio ipertorico. Tendendo lo spago, si otterrebbe
del resto una geodetica (linea di minor percorso). Del resto,
se si misurasse la lunghezza di questo spago nello spazio di rappresentazione
3d (Lanturlu che infila il suo braccio) e ci si avventurasse a misurare la lunghezza
di detto spago, in questo spazio, si troverebbe una lunghezza A'B' più corta.
La vera lunghezza, misurata nell'ipersuperficie 3d, sarebbe più lunga, come
figurato sopra in 2d. La rappresentazione 3d dove figura Lanturlu è dunque non-isometrica,
come la rappresentazione piana della figura sopra.
In fondo, questi concetti così sottili, usciti dalla teoria dei gruppi, finiscono
per diventare meno ermetici, grazie a qualche disegno, a condizione di "vedere
nello spazio". Ciò che sto cercando di insegnarvi, è
vedere in uno spazio 3d curvo.
Torniamo a questa faccenda di enantiomorfia, di inversione degli oggetti quando
attraversano la struttura di gola, in 2d o in 3d. Consideriamo, in 2d, delle
geodetiche "radiali". La parola è divenuta impropria poiché un raggio
è in principio una retta che parte da un punto. Si tratta in fatto di geodetiche
a j costante. Vedere una figura, più sopra, dove questa coordinata azimutale è
stata indicata. Ma, per maggiore concisione continueremo a usare la parola "radiale"
usando le virgolette. Notate che questa parola "radiale" è ancora
una ricaduta della scelta di uno spazio di rappresentazione. Immaginate che una lettera
R (la quale non è identica alla sua immagine allo specchio, alla sua immagine enantiomorfa)
scivoli, come un decalcomania mal incollata, lungo il nostro passaggio torico,
ciascuno dei suoi punti camminando secondo una geodetica. Questa lettera si ritroverà
"dall'altro lato". Ciò che è interessante è guardare il risultato
dell'operazione nella proiezione piana, nello spazio di rappresentazione.
Si è rappresentata una sorta di nastro, i cui bordi sono costituiti da due
geodetiche. Che cosa si constata ? Nello spazio di rappresentazione, la lettera
R si è invertita, è divenuta un "ia" russo, una R al rovescio, enantiomorfa.
Si comincia a comprendere ora perché la mano di Lanturlu, rispuntando
nel "nostro spazio di rappresentazione 3d" sembra essersi invertita,
essere divenuta enantiomorfa.