Buco nero discutibile e universo gemello

Cosmologia Buco nero problematico.

Jean-Pierre Petit Osservatorio di Marsiglia, Francia Pierre Midy CRI Orsay, Francia Per corrispondenza:

Riassunto

Partendo dal cosiddetto modello del buco nero, considerato come un'interpretazione fisica della geometria di Schwarzschild, rivediamo il problema del destino di una stella di neutroni quando supera il suo limite di stabilità. Presentiamo innanzitutto un nuovo strumento geometrico: la geometria ipertorica, attraverso esempi in 2D e 3D (sezione 2). Mostreremo che le patologie associate alle metriche, derivanti dal loro elemento di linea espresso in un dato sistema di coordinate, possono essere corrette scegliendo un sistema più appropriato formulato in termini di « topologia locale». Ad esempio, mostreremo che nei due esempi forniti, la superficie piana 2D e l'ipersuperficie 3D, i cui gruppi di isometria sono O2 e O3, non sono semplicemente connesse.

Estendiamo il metodo alla geometria di Schwarzschild. Mostreremo che le singolarità possono essere completamente eliminate considerando un'ipersuperficie spazio-temporale non semplicemente connessa. Assegneremo alla geometria di Schwarzschild un significato fisico diverso: un ponte che collega due universi, il nostro e un universo gemello.

Dimostreremo che il « congelamento del tempo», pilastro del modello del buco nero, è semplicemente una conseguenza di una scelta arbitraria di un particolare marcatore temporale. Utilizzando un altro marcatore, ispirato ai lavori di Eddington (1924), deriviamo uno scenario completamente diverso, che implica un'accelerazione radiale (simile all'accelerazione azimutale della metrica di Kerr). Mostreremo che la soluzione di Schwarzschild può essere interpretata come un «ponte spaziale», che collega due universi, due spazio-tempo, agendo come un ponte a senso unico. Mostreremo che il tempo di transito di una particella-test è finito e breve, rendendo immediatamente problematico il modello classico del buco nero.

Estendendo il gruppo di isometria della metrica di Schwarzschild, mostriamo che i due universi sono enantiomorfi (simmetrici rispetto a P) e possiedono marcatori temporali opposti (t* = -t). Utilizzando uno strumento della teoria dei gruppi: l'azione coadiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti, diamo un significato fisico a questa «inversione del tempo», attraverso la superficie di gola sferica, la sfera di Schwarzschild: quando una particella di massa positiva attraversa il ponte spaziale, la sua contribuzione al campo gravitazionale si inverte: m* = -m (come mostrato da J.M. Souriau nel 1974, l'inversione del marcatore temporale è equivalente all'inversione della massa e dell'energia).

Poiché la questione del destino di una stella di neutroni instabile rimane un problema aperto, presentiamo un progetto di modello alternativo: il trasferimento iperspaziale di parte della sua materia attraverso un ponte spaziale, con la materia che fluisce verso l'universo gemello a velocità relativistica.

Per inciso, ricordiamo alcuni difetti ben noti del modello di Kruskal, in particolare il fatto che non è asintoticamente lorentziana all'infinito.

Suggeriamo di considerare la geometria di Schwarzschild come un'ipersuperficie immersa in uno spazio a dieci dimensioni. Collegando questo lavoro a lavori precedenti basati sulla teoria dei gruppi, costruiamo un modello simmetrico CPT. La dualità materia-antimateria si conserva nei due piegamenti. Quando la materia viene trasferita verso l'universo gemello, subisce una simmetria CPT e la sua massa (il suo contributo al campo gravitazionale) si inverte. Ma rimane materia. Allo stesso modo, l'antimateria che fluisce nel ponte spaziale rimane antimateria, con massa opposta, poiché l'inversione del marcatore temporale, come mostrato da Souriau, implica l'inversione della massa.

1. Il modello del buco nero.

Le stelle di neutroni non possono superare una massa critica, vicina a 2,5 masse solari. Per masse maggiori, il loro materiale non può più sopportare la pressione interna enorme dovuta alla forza gravitazionale. Allora si verifica un collasso gravitazionale. Per molto tempo, i teorici hanno cercato di descrivere il destino di un oggetto del genere. Esaminando la metrica di Schwarzschild, qui espressa in termini di

coordinate, dove Rs è il cosiddetto raggio di Schwarzschild (1),

si immaginava che questa soluzione dell'equazione di Einstein:

(2) S = 0

con termine noto nullo potesse risolvere il problema. Infatti, se t viene scelto come «tempo cosmico di un osservatore esterno», il tempo di caduta libera di una particella-test che segue una «geodetica radiale», da un punto lontano dalla sfera di Schwarzschild r = Rs, risulta infinito, mentre questo tempo di caduta libera Ds, espresso in tempo proprio, rimane finito. Allora la «descrizione fisica» è la seguente:

• L'oggetto (una stella di neutroni che ha superato il suo limite di stabilità) subisce un collasso gravitazionale. La sua massa cade rapidamente verso «il centro geometrico del sistema», descritto come una «singolarità centrale». Questo fenomeno si estende su una durata finita Ds, in termini di tempo proprio s.

• Ma, per un «osservatore esterno», situato a una certa distanza dall'oggetto, questo processo sembra «congelato nel tempo». Inoltre, la sfera di Schwarzschild è una superficie con spostamento verso il rosso infinito (a causa della nullità del termine gtt della metrica in r = Rs).

Questo è il modello di un buco nero sfericamente simmetrico.

r viene identificato come una «distanza radiale», il che significa che si può pensare a «ciò che si trova all'interno della sfera di Schwarzschild». In termini grezzi, ciò significa che si assume che la «topologia locale» sia «sferica»: all'interno della sfera di Schwarzschild, si suppone che una «piccola sfera sia presente», e così via, fino al «centro geometrico» dell'oggetto.

Più tardi, il modello è stato esteso alla geometria asimmetrica (metrica di Kerr). Ma questa estensione non apporta alcuna modifica concettuale fondamentale. Per questo motivo ci concentreremo nel seguito sui sistemi sfericamente simmetrici (pensiamo che questo studio possa essere successivamente esteso alla metrica di Kerr).

È un po' strano che un oggetto così denso possa essere descritto da una soluzione delle equazioni (2), che a priori si riferisce a una porzione vuota dell'Universo dove non c'è materia-energia.

Se si mantiene la descrizione (una scelta particolare di coordinate), molte difficoltà sorgono. Ad esempio, quando r tende a Rs, il termine grr tende all'infinito.

La firma della metrica, espressa con questa scelta particolare di coordinate, è: ( + - - - ) per r > Rs ( - + - - ) per r < Rs

Quando una particella-test penetra all'interno della sfera di Schwarzschild, la sua massa diventa immaginaria e la sua velocità superiore a quella della luce: diventa una tachione.

Considerando il cambiamento di firma, alcune persone hanno detto:

• Nessun problema: all'interno della sfera di Schwarzschild, r diventa semplicemente il tempo e t la distanza radiale.

Un cosmologo francese, Jean Heidmann, ha l'abitudine di dire: «Quando si pensa ai buchi neri, bisogna abbandonare ogni buon senso».

Per inciso, ci sono pochissimi candidati ai buchi neri, il che è il punto più inquietante. Infatti, le supernovae, le nane bianche e le stelle di neutroni erano state previste prima di essere osservate. Ad esempio, Fritz Zwicky ha presentato il modello di supernova in una famosa conferenza tenuta al Caltech nel 1931, prima che nessuno lo avesse osservato. Ma anni dopo anni, il modello è stato confermato e ora conosciamo centinaia di questi oggetti. Stesso discorso per le stelle di neutroni in rotazione, identificate come pulsar. Perché così pochi buchi neri osservati?

Comunque, gli astrofisici credono che i buchi neri esistano, anche se ci sono così pochi dati osservativi a loro riguardo. Usano modelli di «grandi buchi neri», supposti si trovino al centro delle galassie o dei ammassi di galassie, per «spiegare» alcune loro caratteristiche dinamiche enigmatiche.

Nel seguito, vogliamo suggerire un destino diverso per le stelle di neutroni che hanno superato il loro limite di stabilità. Cominciamo presentando nuovi strumenti geometrici.

2. Geometria ipertorica.

Consideriamo la metrica riemanniana g, in due dimensioni, il cui elemento di linea, scritto con un insieme di due coordinate [r, θ], è:

(3)

dove:

è definito su R, modulo 2π.

Rs è una costante.

Questa metrica diventa asintoticamente euclidea quando r tende all'infinito:

(4)

In questo particolare sistema di coordinate, la firma è: ( + , + ) per r > Rs ( - , + ) per r < Rs

Il determinante:

(5)

diventa infinito per r = Rs. Dimostriamo che ciò è dovuto a questa scelta particolare di coordinate. Introduciamo il seguente cambiamento di coordinate:

(6)

L'elemento di linea diventa (7)

il cui determinante associato è:

(8)

Non si annulla più per nessun valore (il che mostra inoltre che, in una metrica, la nullità del determinante dell'elemento di linea dipende dalla scelta del sistema di coordinate, come mostrato da Eddington nel 1924 (ref.[10]) per la metrica di Schwarzschild). Quando tende a zero (il che corrisponde a

questo determinante tende a:

varia da -infinito a +infinito, il che equivale a r ≥ Rs

La metrica g, indipendentemente dal sistema di coordinate scelto, descrive una superficie, un oggetto a due dimensioni. Quest'ultima possiede il suo sistema di geodetiche, fondamentalmente invariante rispetto alle coordinate. Studiamo questo sistema in un sistema di coordinate tramite le equazioni di Lagrange. Introduciamo la seguente funzione F:

(9)

Le equazioni di Lagrange corrispondenti sono:

(10)

(11)

L'equazione (11) dà:

(12)

h è positivo, negativo o nullo. Inoltre, se in (3) dividiamo entrambi i membri per , otteniamo, classicamente:

(13)

da cui si può derivare l'equazione differenziale che descrive le geodetiche piane, nel sistema di coordinate:

(14)

La condizione |h| ≤ r, secondo (12), significa che il valore assoluto del coseno dell'angolo tra la tangente alla geodetica e il vettore radiale è ≤ 1.

Ora, collocando la superficie in R3, aggiungendo una coordinata di immersione aggiuntiva z. Scegliamo coordinate cilindriche

La superficie è asimmetrica rispetto all'asse z.

Le geodetiche (θ = costante) sono le linee meridiane di questa superficie, dove:

(15)

il che dà immediatamente l'equazione della curva meridiana di questa superficie immersa in R3. Si tratta della parabola:

(16)

La figura 1 mostra una vista in 3D di questa superficie, immersa in R3, accompagnata da una geodetica e dalla sua proiezione su un piano con coordinate polari.

Questa superficie non è semplicemente connessa. Tra le orbite del gruppo di isometria O2, si trova un cerchio di perimetro minimo: il cerchio del collo (p = 2 Rs).

Fig. 1: La superficie, immersa in R3

e la sua rappresentazione in un sistema di coordinate.

Nella figura 2, sono mostrate diverse geodetiche, in questo sistema di rappresentazione.

Fig. 2: Rappresentazione di alcune geodetiche. Fig. 3: Una geodetica particolare, che attraversa il cerchio del collo.

Osservate che questa rappresentazione delle geodetiche in un piano non è isometrica. Se misuriamo la lunghezza su questo piano, non corrisponde alla lunghezza misurata sulla superficie.

Se imponiamo che la lunghezza dS sia reale, vediamo che determina ciò che potremmo chiamare la topologia locale. Chiamiamo una tale struttura geometrica un ponte toroidale. Possiamo anche dire che questa superficie possiede una topologia toroidale locale. Ha un solo piegamento, che può essere considerato come l'unione di due semipiegamenti limitati, i quali sono incollati lungo i loro bordi circolari lungo il cerchio del collo, il cui perimetro è 2 Rs. Questi cerchi non sono linee geodetiche (eccetto quella geodetica particolare che è il cerchio del collo, l'unica chiusa). Su ogni semipiegamento, quando la distanza rispetto al «ponte toroidale» tende all'infinito, la metrica tende alla metrica euclidea (2). Nella figura 2, corrispondente a una rappresentazione [r, θ], le parti superiori delle geodetiche che attraversano il cerchio del collo sono rappresentate da linee continue, mentre le parti corrispondenti all'altro semipiegamento sono rappresentate da linee tratteggiate. Notate che un semipiegamento corrisponde a (θ ∈ [0, π]), quindi l'altro corrisponde a (θ ∈ [π, 2π]). Il cerchio del collo corrisponde a θ = 0. Riassunto Pagina successiva

La metrica g, qualunque sia il sistema di coordinate scelto, descrive una superficie, un oggetto a due dimensioni. Quest'ultima possiede il suo sistema di geodetiche, fondamentalmente invariante rispetto alle coordinate. Studiamo questo sistema in un sistema di coordinate tramite le equazioni di Lagrange. Introduciamo la seguente funzione F:

(9)

Le equazioni di Lagrange corrispondenti sono:

(10)

(11)

L'equazione (11) fornisce:

(12)

h essendo positivo, negativo o nullo. Inoltre, se in (3) dividiamo entrambi i membri per , otteniamo, classicamente:

(13)

da cui si può derivare l'equazione differenziale che descrive le geodetiche piane, nel sistema di coordinate:

(14)

La condizione |h| ≤ r, secondo (12), significa che il valore assoluto del coseno dell'angolo tra la tangente alla geodetica e il vettore radiale è ≤ 1.

Ora, collocando la superficie in R3, aggiungendo una coordinata di immersione aggiuntiva z. Scegliamo coordinate cilindriche

La superficie è asimmetrica rispetto all'asse z.

Le geodetiche ( = costante) sono le linee meridiane di questa superficie, dove:

(15)

il che fornisce immediatamente l'equazione della curva meridiana di questa superficie immersa in R3. Si tratta della parabola:

(16)

La figura 1 mostra una vista in 3D di questa superficie, immersa in R3, accompagnata da una geodetica e dalla sua proiezione su un piano con coordinate polari.

Questa superficie non è semplicemente connessa. Tra gli orbite del gruppo di isometria O2 si trova un cerchio di perimetro minimo: il cerchio del collo (p = 2 Rs).

Fig. 1 : La superficie, immersa in R3

e la sua rappresentazione in un sistema di coordinate.

Nella figura 2 sono mostrate diverse geodetiche, in questo sistema di rappresentazione.

Fig. 2 : Rappresentazione di alcune geodetiche. Fig. 3 : Una geodetica particolare, che attraversa il cerchio del collo.

Si noti che questa rappresentazione delle geodetiche in un piano non è isometrica. Se misuriamo la lunghezza su questo piano, essa non corrisponde alla lunghezza misurata sulla superficie.

Se imponiamo che la lunghezza dS sia reale, vediamo che essa determina ciò che potremmo chiamare la topologia locale. Chiamiamo una tale struttura geometrica un ponte toroidale. Possiamo anche dire che questa superficie possiede una topologia toroidale locale. Essa possiede un solo piegamento, che può essere considerato come un insieme di due mezzi piegamenti limitati, i quali sono incollati lungo i loro bordi circolari lungo il cerchio del collo, il cui perimetro è 2 Rs. Questi cerchi non sono linee geodetiche (tranne questa geodetica molto particolare che è il cerchio del collo, l'unica chiusa). Su ciascun mezzo piegamento, quando la distanza rispetto al "ponte toroidale" tende all'infinito, la metrica tende alla metrica euclidea (2). Nella figura 2, corrispondente a una rappresentazione [ r , ] , le parti superiori delle geodetiche che attraversano il cerchio del collo sono rappresentate da linee continue, mentre le parti corrispondenti all'altro mezzo piegamento sono rappresentate da linee tratteggiate. Si noti che un mezzo piegamento corrisponde a ( ) , quindi l'altro corrisponde a ( ) . Il cerchio del collo corrisponde a = 0 . Riassunto Pagina successiva