- Geodetiche in una rappresentazione [r, j].
Introducendo (6) in (14), con dr = thr dr, otteniamo: (17)
che dà la rappresentazione [r, j] delle geodetiche. Quando r tende a zero, dj/dr tende a un valore finito, in modo che la tangente dell'angolo di inclinazione: (18)
tende a zero nell'origine. L'immagine del cerchio del collo di Schwarzschild, in questa rappresentazione, è un punto conico. ** ** **
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Fig. 4: La geodetica mostrata nella figura 3, in un sistema di coordinate (r, j).
Il punto di intersezione del cerchio del collo corrisponde al punto O
Si tratta di una rappresentazione isometrica delle geodetiche. Notiamo che possiamo anche rappresentare la superficie in un sistema [z, r, j], ma non è più una rappresentazione isometrica. Otteniamo allora il meridiano associato: (19)
Quando r tende a zero, z(r) è lineare. Quando tende all'infinito, la funzione tende a una parabola.
Fig. 5: Meridiano della superficie, in una rappresentazione non isometrica [r, j] della superficie. ****
L'immagine del cerchio del collo di Schwarzschild, in questa rappresentazione, è un punto conico. ** **
- **Estensione a una ipersuperficie 3D con simmetria sferica. **
Questo può essere esteso a un'ipersuperficie 3D, descritta dall'elemento di linea: (20)
Questa metrica si riferisce a un'ipersuperficie 3D, qui espressa in un sistema di coordinate [r, q, j]. La variabile r non è una "distanza radiale", corrispondente alle "coordinate sferiche". Ritroviamo patologie simili in questa nuova espressione dell'elemento di linea, che possono essere eliminate introducendo lo stesso cambiamento di coordinate (6).
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
L'elemento di linea diventa allora: (21)
La sua firma diventa ( +, +, + ) e il suo determinante: (22)
non si annulla più.
Le geodetiche di questa ipersuperficie si trovano in piani. q = p/2 è uno di essi. Nella loro rappresentazione [r, j], coincidono con quelle della figura 2. Il gruppo di isometria è O3 e le orbite corrispondenti sono sfere. Tra queste, una ha un'area minima (la sfera del collo di un tale ponte toroidale 3D). I grandi cerchi delle orbite sferiche non sono curve geodetiche, tranne i casi particolari situati sulla sfera del collo, il cui perimetro è 2 p Rs. Le geodetiche di questa sfera particolare sono le uniche chiuse. Possiamo chiamare questa geometria particolare una geometria ipertoroidale. Questa superficie 3D non è semplicemente connessa. Ha un solo piego 3D, che può essere considerato un insieme di due mezzi pieghi 3D limitati, incollati lungo il loro bordo sferico (la sfera del collo). A grande distanza da questo "ponte ipertoroidale", la metrica tende alla metrica euclidea, qui scritta in coordinate sferiche: (23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- **Geometria di Schwarzschild. **
Classicamente, si considera che il suo gruppo di isometria sia SO3 × R, dove R si riferisce alle traslazioni di una dimensione. Si dice allora che questa metrica è indipendente dal tempo e a simmetria sferica, considerando che R corrisponde alle traslazioni temporali.
Espressa in un sistema di coordinate [x°, r, q, j], dove x° è il segnale del tempo, l'elemento di linea è (24)
Classicamente, si pone x° = ct, che è supposto definire il tempo cosmico t "di un osservatore esterno". Quando r >> Rs, (21) tende alla metrica di Minkowski. Classicamente, r è assimilato a una coordinata radiale. (21) mostra una singolarità del termine grr e un cambiamento di firma quando r = Rs.
Ancora una volta, possiamo regolarizzare questa metrica utilizzando il cambiamento di coordinate (6), passando a un sistema [t, r, q, j]. L'elemento di linea diventa allora: (25)
Le orbite del gruppo di isometria O3 sono sfere. Tra queste, una, la sfera del collo (sfera di Schwarzschild), ha un'area minima. L'ipersuperficie non è semplicemente connessa. Forma un solo piego spazio-temporale, che può essere considerato un insieme di due mezzi pieghi 4D (pieghi gemelli), il primo corrispondente a r > 0 e il secondo a r < 0, da cui la sfera del collo corrisponde a r = 0. Possiamo calcolare le geodetiche situate nel piano q = p/2. Seguendo le "coordinate sferiche":
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Fig. 6: Coordinate sferiche.
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l'elemento è dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )
I cerchi j = costante sono geodetiche della sfera, ma ovviamente non rappresentano tutte le geodetiche della superficie. Solo quelle che passano per due punti antipodali (poli).
I cerchi q = costante non sono geodetiche, tranne quello corrispondente a q = p/2 (equatore).
In un sistema di coordinate [r ≥ Rs, j], queste geodetiche (a lunghezza non nulla) corrispondono a: (26)
La scelta dell'insieme delle costanti [l, h] determina la geodetica. Tra queste, troviamo geodetiche di tipo iperbolico, che non intersecano la sfera del collo r = Rs. Vedere la figura 7.
Figura 7: Geometria di Schwarzschild.
Rappresentazione [r, j] di una geodetica piana iperbolica che non interseca la sfera del collo r = Rs
Troviamo anche geodetiche quasi-ellittiche. Vedere la figura 8
**Fig. 8: Geometria di Schwarzschild.
Rappresentazione [r, j] di geodetiche quasi-ellittiche. **
Esaminiamo ora le geodetiche che intersecano la sfera del collo r = Rs. In una rappresentazione [r, j], indichiamo a l'angolo tra la tangente alla geodetica e il vettore radiale. (27)
La prima equazione di Lagrange dà: (28)
Per valori r ≥ Rs, il parametro l è strettamente positivo. Un'altra equazione di Lagrange è: (29)
e dà un'evoluzione monotona dell'angolo j rispetto al tempo proprio s. In questo piano (q = p/2), la rotazione dipende dal segno di h.
Secondo questa nuova interpretazione della geometria di Schwarzschild (considerata come un'ipersuperficie non semplicemente connessa), possiamo rappresentare la geodetica in un sistema [r, j] come indicato nella figura 9.
Figura 9a: Rappresentazione [r, j] di una geodetica che interseca la sfera del collo **** (sfera di Schwarzschild) corrispondente a h ≥ Rs
Una parte della geodetica è rappresentata con linee tratteggiate, poiché si suppone appartenga al secondo mezzo piego 3D, collegato al primo lungo la sfera del collo, la sfera di Schwarzschild. Questo suggerisce una rottura. Ma questa ultima è dovuta a questo particolare sistema di rappresentazione [r, j], che è più familiare alla nostra (limitata) intuizione geometrica umana. In uno spazio di rappresentazione 3D otteniamo la figura 9b. Le particelle sembrano "rimbalzare" sulla sfera di Schwarzschild.
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Fig. 9b: Nello spazio euclideo 3D, le particelle sembrano rimbalzare sulla sfera di Schwarzschild.
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Dal punto di vista di questa interpretazione, "non c'è nulla all'interno della sfera di Schwarzschild", poiché, in questo "interno", siamo semplicemente "fuori dall'ipersuperficie". Ricordiamo che la sfera del collo, la sfera di Schwarzschild, corrisponde al valore r = 0. Il primo mezzo piego corrisponde a (r > 0) e il secondo a (r < 0).
In una rappresentazione [r, j], l'aspetto della geodetica diventa abbastanza diverso. Calcoliamo la tangente dell'angolo b, tra la geodetica e il vettore radiale (vedere figura 6). (30)
Quando r tende a ±0, thr ≈ r, quindi: (31)
Nella rappresentazione [r, j], le geodetiche che passano da un mezzo piego all'altro sono tangenti al vettore radiale. Non c'è più discontinuità angolare nell'origine, questa essendo l'immagine del cerchio del collo (r = 0). Per una descrizione completa di queste geodetiche, dobbiamo tornare all'elemento di linea espresso nel sistema di coordinate [t = x°/c, r, q, j] (24), utilizzando il sistema di equazioni di Lagrange, con: (32)
Tra queste equazioni, troviamo: (33)
Per un valore dato di h, l'evoluzione di j è monotona rispetto al tempo proprio s.
Fig. 10: Rappresentazione [r, j] di una geodetica che passa ** da un mezzo piego (r > 0) all'altro (r < 0). **
Come prima, la porzione della geodetica appartenente al secondo mezzo piego 3D è rappresentata con linee tratteggiate.
Non possiamo dare un'immersione dell'ipersuperficie 4D, come abbiamo fatto all'inizio dell'articolo per una superficie 2D. Inoltre, trattiamo qui geodetiche 4D, non 3D. Gli spazi [r, q, j] e [r, q, j] non sono altro che spazi di rappresentazione, supposti rendere le cose un po' più chiare. Le vere geodetiche sono incise in uno spazio 4D. Comunque, la rappresentazione [r, q, j] suggerisce un "ponte ipertoroidale" 3D, mentre la rappresentazione [r, q, j] suggerisce un "ipercono" 3D. In questa seconda (3D) rappresentazione di questa superficie 2D, le geodetiche vanno da un mezzo piego all'altro passando per il punto (r = 0). Questo è simile a un cono 2D. Vedere la figura 11
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Fig. 11: Geodetica di un cono. Destra: una superficie che possiede un punto conico.
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