- La scelta di un marcatore temporale.
Nelle coordinate [t, r, q, j], corrispondenti all'elemento di linea (25), il determinante del tensore metrico è: (34)
che si annulla quando r diventa nullo. Tuttavia, nel 1924, Eddington [10] ha dimostrato che la nullità del tensore metrico dipendeva dalle coordinate. Torniamo prima alla forma iniziale (35)
Insistiamo sul fatto che la scelta del sistema di coordinate è puramente arbitraria, poiché il tensore metrico, soluzione dell'equazione tensoriale (36)
S = 0
è fondamentalmente invariante rispetto al cambiamento di coordinate. Decidiamo che le particelle seguano le geodetiche. Le coordinate scelte in modo arbitrario danno un significato fisico a questa soluzione geometrica. Possiamo scegliere x° = ct, c essendo una costante. Ma possiamo scegliere un altro sistema di riferimento. È a noi decidere. L'unico requisito, per un marcatore cronologico scelto x°, o t, x, è che il tensore metrico sia asintoticamente euclideo: (37)
o: (38)
come espresso in un sistema di coordinate cartesiane. Ricordiamo che un tensore metrico riemanniano è euclideo se si può trovare un sistema di coordinate dove la forma quadratica dell'elemento di linea ha coefficienti costanti. L'insieme dei segni costituisce la firma. Se questa è ( + - - - ), si tratta di un tensore metrico di Minkowski. (39)
essendo identificato a una distanza elementare, sembra ragionevole imporre che il tensore metrico sia asintoticamente euclideo "a grande distanza", qualunque sia la definizione scelta per tale distanza (r o r, come sopra).
La definizione del "tempo cosmico" o del "marcatore spaziale" resta una scelta completamente libera. Al contrario, non possiamo modificare il tempo proprio s, o più precisamente l'intervallo di tempo Ds tra due punti dati della varietà, poiché è fondamentalmente indipendente dalle coordinate. Inoltre, si suppone che le particelle possano muoversi in entrambi i sensi lungo una geodetica data.
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Figura 12: Il percorso di una particella lungo una geodetica data.
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Il percorso di una particella-test lungo una geodetica è un fenomeno. Un'altra geodetica della varietà è supposta corrispondere a un "osservatore esterno in quiete". Ma lo stato di quiete dipende dalla scelta delle coordinate (x°, x1, x2, x3), che è completamente arbitraria.
Questo "osservatore esterno" è supposto trovarsi in una regione della varietà dove il tensore metrico è euclideo o quasi-euclideo, cioè della forma (37). Allora le condizioni di quiete significano che (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Per un tale osservatore in quiete, ogni intervallo di tempo proprio si identifica all'intervallo di "tempo cosmico" arbitrariamente scelto: (41)
Ds = Dx°
...La scelta del tempo cosmico essendo puramente arbitraria, l'evoluzione della particella-test nel tempo dipende da questa scelta. Consideriamo due punti A e B su una geodetica data, supposta corrispondere a un osservatore esterno. Questi punti sono eventi spazio-temporali. Nella figura 13, le linee tratteggiate sono supposte corrispondere a un tempo cosmico costante x°.
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Figura 13: Un "osservatore esterno in quiete", "considerando" l'evoluzione di una particella-test su una geodetica. Tempo cosmico x°
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Consideriamo ora un altro scelta x per il tempo cosmico. Vedi figura 14.
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Figura 14: Un "osservatore esterno in quiete", "considerando" l'evoluzione di una particella-test su una geodetica. Tempo cosmico x **
Precisiamo che le linee tratteggiate non rappresentano le traiettorie dei fotoni. I fotoni si muovono lungo geodetiche particolari, le geodetiche nulle, che sono invariate rispetto al cambiamento di coordinate.
Abbiamo ancora Ds(O) = Dx° = Dx, ma gli intervalli Ds'(TP) e Ds"(TP) possono essere molto diversi, pur riferendosi alla stessa geodetica, poiché i coppie (A',B') e (A",B") possono differire. Fondamentalmente, dipendono dalla coordinata temporale scelta, o dal "marcatore temporale".
- Il cambiamento di coordinate temporale di Eddington e la sua forma estesa.
Il seguente cambiamento di coordinate, introdotto da Eddington nel 1924, illustrando questo punto, è: (42)
L'elemento di linea diventa allora: (43)
Poiché il termine gxx si annulla sulla sfera r = Rs, questa diventa una superficie di spostamento verso il rosso infinito (come nell'elemento di linea classico di Schwarzschild). La matrice diventa: (44)
il cui determinante è: (45)
- r 4 sin2 q
e non si annulla mai, qualunque sia il valore di r. Per motivi che saranno spiegati in seguito, estendiamo questo cambiamento di coordinate a: (46)
Espresso nel sistema di coordinate (x, r, q, j), l'elemento di linea diventa: (47)
il cui determinante ha la stessa forma (44). Notiamo che il cambiamento di coordinate di Eddington corrisponde al valore d = -1. Studiamo le geodetiche utilizzando le equazioni di Lagrange, basate sulla funzione: (48)
con:
Inoltre, a partire dall'espressione dell'elemento di linea, abbiamo classicamente per le particelle materiali (ds ≠ 0): (49)
Un'equazione di Lagrange dà: (50)
Consideriamo la geodetica piana q = p/2, che dà: (51)
lungo una geodetica, rispetto al tempo proprio s, l'evoluzione di j è monotona. Un'altra equazione di Lagrange dà: (52)
cioè: (53)
Combinando con (49), in modo sorprendente, d scompare: (54)
Notiamo che se dr = 0 (velocità nulla) quando r tende all'infinito, questo corrisponde a l = 1. Quando r tende all'infinito, secondo (53): (55)
Se l ≥ 1, quando r tende all'infinito, otteniamo: (56)
con
otteniamo (57)
Nel sistema [r, j], ritroviamo, per le geodetiche non nulle (ds ≠ 0), l'espressione differenziale classica: (58)
che fornisce i modelli delle figure 7, 8 e 9. Possiamo ora definire un nuovo tempo cosmico con: (59)
x = ct
...L'elemento di linea (43) rimane asintoticamente euclideo. A "grande distanza", il tempo proprio Ds di un osservatore in quiete si identifica all'intervallo Dt.
- Intervalli di tempo per i percorsi radiali.
Possiamo calcolare l'intervallo di tempo Dt = Dx/c di una particella di massa non nulla che segue una geodetica, a partire dall'equazione differenziale: (60)
Per le "geodetiche radiali" (h = 0): (61)
Vicino alla sfera di Schwarzschild, otteniamo: (62)
l = 1 corrisponde a una particella-test la cui velocità tende a zero all'infinito.
Consideriamo questo caso particolare: (63)
Dopo (54)
n = -1 corrisponde ai percorsi (dr < 0).
n = +1 corrisponde ai percorsi (dr > 0).
...Notiamo che il particolare cambiamento di coordinate di Eddington corrisponde (per r ≥ Rs) a d = +1. Quando calcoliamo il tempo di percorso radiale Dt di una particella-test, rispetto a questo nuovo tempo cosmico, troviamo che quest'ultimo dipende dalla direzione del movimento e dal segno di d, cioè dal prodotto dn. Quando è positivo, il tempo di percorso di una particella-test lungo una geodetica radiale (r ≥ Rs) è finito. Quando è negativo, questo tempo di percorso diventa infinito.
...Come prima conseguenza, se applicato al modello di buco nero con simmetria sferica, il cambiamento di coordinate di Eddington dà un tempo di caduta libero finito Dt. Quando r = Rs, la velocità della particella diventa: (64)
Una particella-test, che cade verso la sfera di Schwarzschild, la raggiunge con la velocità c.
- Velocità della luce.
I fotoni si muovono lungo geodetiche nulle, corrispondenti a: (65)
Consideriamo la velocità: (66)
Dopo (65), otteniamo: (67)
Quando r tende all'infinito, vj tende a ±c.
Quando dr < 0, abbiamo n < 1. Allora, quando r = Rs per i percorsi (dr < 0): (68)
Quando una particella-test cade verso la sfera di Schwarzschild, lungo un percorso radiale, la raggiunge con la velocità della luce. In sintesi: (69)
(70)
La velocità della luce è diversa a seconda che si considerino i percorsi (dr > 0) o (dr < 0).
- Effetto di trascinamento del sistema di riferimento.
Consideriamo il tensore metrico di Kerr: (71)
dove r è una coordinata spaziale diversa da quella definita sopra. Riproduciamo semplicemente l'equazione 7.110 della referenza [1]. Calcoliamo la velocità del fotone (ds = 0) per movimenti tangenti a cerchi (q = p/2, r = costante). Troviamo: (72)
cioè due valori diversi. Questo corrisponde a un trascinamento azimutale ed è una proprietà del tensore metrico di Kerr. Secondo la referenza [1], 7.7, "La soluzione di Kerr e la rotazione", leggiamo:
Un effetto fisico molto interessante deriva dalla natura rotazionale della soluzione di Kerr; un corpo in movimento geodetico subisce una forza proporzionale al parametro a, ricordando una forza di Coriolis. In termini vaghi, possiamo pensare che la sorgente rotante "trascini" lo spazio intorno a sé. In un senso machiano, le sorgenti "si affrontano" alle condizioni al contorno lorentziane all'infinito per stabilire un sistema di riferimento locale inerziale.
Riformulato in termini di coordinate di Eddington, il buco nero, considerato come sorgente del campo, induce un trascinamento radiale del sistema di riferimento.
- Buco nero e fontana bianca.
Nella sezione 4, abbiamo suggerito una nuova interpretazione della geometria di Schwarzschild dove la sfera di Schwarzschild, vedere figura 9, si comporta come una sfera di gola che collega due "pieghe semispazio-tempo". Possiamo immaginare una struttura simile combinando le due geometrie di Schwarzschild seguenti: (73)
(74)
Queste due sono derivate da (43), la prima espressione (73) corrispondente a d = -1 e la seconda (74) a d = +1. Il collegamento non presenta problemi, poiché d non appare nel calcolo della rappresentazione [r, j] delle geodetiche. Vedi l'equazione (58). Otteniamo una coppia "buco nero - fontana bianca", senza "singolarità centrale". La materia può entrare nel buco nero, ma non può uscirne. Dall'altro lato, la materia può uscire dalla fontana bianca, ma non può entrarvi. Il tempo di transito è finito in un senso e infinito nell'altro. Calcolato con il nuovo tempo cosmico x, il tempo di transito finito è simile a quello calcolato con il tempo proprio s. Per i percorsi radiali: (75)
Questo tempo è molto breve. Come mostrato da questo articolo, il modello del buco nero si basa su una scelta particolare delle coordinate, e in particolare del tempo cosmico. Come indicato nella sezione 6, la scelta del marcatore temporale è puramente arbitraria. La scelta classica porta a un sistema quasi-stazionario, nel quale la caduta della materia, iniettata nel buco nero, appare "congelata nel tempo" dal punto di vista di un osservatore esterno. Tuttavia, questo articolo dimostra che un'altro scelta del marcatore temporale, derivato dall'idea di Eddington, "scongela" il processo. Da quel punto di vista, i buchi neri, o le coppie buco nero - fontana bianca, non possono esistere come oggetti permanenti, poiché possono inghiottire decine di masse solari al millisecondo. Rimane quindi una domanda aperta:
- Cosa succede quando una stella di neutroni supera il suo limite di stabilità?
- Spazio di rappresentazione.
Prima di provare a presentare un progetto alternativo di modello, alcune parole su ciò che potremmo chiamare "spazi di rappresentazione". All'inizio dell'articolo, abbiamo studiato una superficie a 2 dimensioni definita dal suo elemento di linea. Si è rivelato possibile immergere questa superficie in R3, fornendo una rappresentazione isometrica di questo oggetto geometrico. Passando, abbiamo menzionato una rappresentazione [r, j].
Non è possibile dare una rappresentazione evidente di una ipersuperficie a quattro dimensioni, poiché non possiamo disegnarla né mostrare figure su di essa. Tuttavia, l'ipersuperficie può essere rappresentata in molti spazi di rappresentazione, corrispondenti a diversi scelte di coordinate, poiché l'oggetto è fondamentalmente invariante rispetto al cambiamento di coordinate. Possiamo, ad esempio, introdurre la trasformazione (6). L'elemento di linea diventa allora: (76)
per r > 0
e: (77)
per r < 0.
Le geodetiche "radiali" (ad esempio q = p/2, dj = 0) convergono verso il centro geometrico O del sistema (in questa rappresentazione particolare). Questo punto è paragonabile a un "punto iperconico". Una simmetria rispetto a un punto in uno spazio a 3 dimensioni è una simmetria P.
In questa rappresentazione [t, r, q, j], l'elemento di linea di Schwarzschild è simmetrico rispetto a P. È anche indipendente dal tempo (invariante rispetto alla traslazione temporale, cioè corrispondente a uno stato stazionario) e simmetrico temporalmente (T-simmetrico), invariante sotto la trasformazione:
t → -t
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Riformulato in termini di coordinate di Eddington, il buco nero, considerato come sorgente del campo, induce un trascinamento radiale del sistema.
- Buco nero e fontana bianca.
Nella sezione 4, abbiamo suggerito una nuova interpretazione della geometria di Schwarzschild in cui la sfera di Schwarzschild, vedi figura 9, si comporta come una sfera di gola che collega due "pieghe semispazio-tempo". Possiamo immaginare una struttura simile che combini le seguenti due geometrie di Schwarzschild: (73)
(74)
Queste due sono derivate da (43), la prima espressione (73) corrispondente a d = -1 e la seconda (74) a d = +1. Il collegamento non presenta problemi, poiché d non appare nel calcolo della rappresentazione [r, j] delle geodetiche. Vedi l'equazione (58). Otteniamo una coppia "buco nero - fontana bianca", senza "singolarità centrale". La materia può entrare nel buco nero, ma non può uscirne. Dall'altro lato, la materia può uscire dalla fontana bianca, ma non può entrarvi. Il tempo di transito è finito in un senso e infinito nell'altro. Calcolato con il nuovo tempo cosmico x, il tempo di transito finito è simile a quello calcolato con il tempo proprio s. Per i percorsi radiali: (75)
Questo tempo è molto breve. Come mostrato in questo articolo, il modello del buco nero si basa su una scelta particolare delle coordinate, in particolare del tempo cosmico. Come indicato nella sezione 6, la scelta del marcatore temporale è puramente arbitraria. La scelta classica dà un sistema quasi stazionario, in cui la caduta della materia versata nel buco nero è "congelata nel tempo", rispetto a un osservatore esterno. Ma questo articolo mostra che un'alternativa alla scelta del marcatore temporale, derivata dall'idea di Eddington, "scongela" il processo. Dal punto di vista, i buchi neri, o le coppie buco nero - fontana bianca, non possono esistere come oggetti permanenti, poiché potrebbero ingoiare decine di masse solari al millisecondo. Resta quindi una domanda aperta:
- Cosa accade quando una stella neutronica supera il suo limite di stabilità?
- Spazio di rappresentazione.
Prima di cercare di presentare un progetto alternativo di modello, alcune parole su ciò che potremmo chiamare "spazi di rappresentazione". All'inizio dell'articolo, abbiamo studiato una superficie 2D definita dal suo elemento di linea. Si è rivelato possibile immergere questa superficie in R3, che ci ha dato una rappresentazione isometrica di questo oggetto geometrico. In passaggio, abbiamo menzionato una rappresentazione [r, j].
Non è possibile dare una rappresentazione evidente di un'iper-superficie quadridimensionale, poiché non possiamo disegnarla né mostrare figure. Ma l'iper-superficie può essere rappresentata in molti spazi di rappresentazione, corrispondenti a diversi scelte di coordinate, poiché l'oggetto è fondamentalmente invariante rispetto al cambiamento di coordinate. Ad esempio, possiamo introdurre il cambiamento (6). Allora l'elemento di linea diventa: (76)
per r > 0
e: (77)
per r < 0.
Le geodetiche "radiali" (ad esempio q = p/2, dj = 0) convergono verso il centro geometrico O del sistema (in questa rappresentazione particolare). Questo punto è paragonabile a un "punto iperconico". Una simmetria rispetto a un punto in uno spazio 3D è una simmetria P.
In questo sistema [t, r, q, j], l'elemento di linea di Schwarzschild è P-simmetrico. È anche indipendente dal tempo (invariante per traslazione temporale, cioè corrispondente a uno stato stazionario) e T-simmetrico, invariante per:
t → -t