- Gruppi di isometria.
Chiamiamo a una matrice di rotazione in 3D. Scriviamo: (78)
Un elemento del gruppo SO3 × R può essere rappresentato dalla matrice: (79)
che è il prodotto di due matrici. La prima: (80)
appartiene a SO3.
e la seconda: (81)
appartiene al gruppo R delle traslazioni temporali. Introduciamo le simmetrie P e T. Otteniamo un gruppo a quattro componenti, il cui elemento è: (82)
Si tratta del prodotto di due matrici: (83)
e:
(84)
Chiamiamo questo secondo sottogruppo E1 (gruppo euclideo unidimensionale). Nella rappresentazione [t, r, q, j], il gruppo di isometria è O3 × E1. Torniamo all'espressione dell'elemento di linea nel sistema di coordinate [t, r, q, j]: (85)
...Classicamente, si considera che il gruppo di isometria associato sia SO3 × R, che non è il più grande. In realtà è O3 × E1, poiché l'elemento di linea è invariante anche sotto le inversioni spaziale e temporale.
Consideriamo ora l'elemento di linea espresso nella forma "estesa di Eddington" (86)
che scriviamo: (87)
Introduciamo le coordinate cartesiane spaziali [x1, x2, x3]: (88)
(89)
(90)
L'elemento di linea può quindi essere espresso in funzione delle coordinate [x, x1, x2, x3]. (91)
Ora cerchiamo il gruppo di isometria della metrica, come espressa in questo sistema di coordinate particolare. Abbiamo innanzitutto la simmetria P. L'elemento di linea è invariante sotto: (92)
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
È invariante anche sotto il cambiamento: (93)
x → -x
d → -d
E sotto le traslazioni temporali: x = x + ε. Questo corrisponde al seguente gruppo a quattro componenti:
Il suo elemento è il prodotto di due matrici. La prima: (94)
corrisponde a O3 e la seconda forma un secondo sottogruppo il cui elemento è: (95)
Chiamiamo questo secondo sottogruppo "TF".
Il gruppo di isometria di (86) è quindi:
O3 × TF
Consideriamo ora la metrica di Schwarzschild espressa nel sistema di coordinate [t = x/c, r, q, j]. Possiamo raggruppare le due espressioni (76) e (77) in: (96)
Ricordiamo che d = -1 gestisce la metà dello spazio-tempo r > 0 mentre d = +1 gestisce la seconda metà dello spazio-tempo r < 0, se si assume che il "buco nero" si trovi nel nostro ripiegamento, e la "fontana bianca" nel "ripieno gemello".
Se la situazione è invertita, cioè se il "buco nero" si trova nel ripiego gemello, e la "fontana bianca" nel nostro, otteniamo:
d = +1 gestisce la metà dello spazio-tempo r > 0
d = -1 gestisce la metà dello spazio-tempo r < 0
Consideriamo il primo caso (il "buco nero" è nel nostro universo, e la "fontana bianca" nel ripiego gemello). In questo caso, la metrica è: (97)
Effettuando la sostituzione:
r → -r
t → -t
d → -d
otteniamo la seconda metrica: (98)
Notiamo che la nullità del determinante quando r = 0 corrisponderebbe all'inversione locale dello spazio (l'enantiomorfismo) e della coordinata temporale nel punto (r = 0). In effetti, abbiamo bisogno di un determinante non nullo per definire le coordinate gaussiane. Vedere la referenza [1] 2.4
Se il determinante è non nullo, diventa possibile definire una serie di ipersuperfici (x° o x, o t = costante) (corrispondenti a un valore costante del marcatore cronologico scelto), ortogonali alle linee geodetiche delle coordinate x° o x o t ("linee mondiali" per i "punti stabili").
Fig.15 : Dopo la fig. 2.1 della referenza [1]
Potremmo esprimere (97) e (98) in coordinate cartesiane, come precedentemente, e trovare (92) e (93). Il gruppo di isometria di (96) diventa: (99)
I due ripiegamenti dello spazio-tempo sono PT-simmetrici.
Ricordate che Andrei Sakharov fu il primo, nel 1967 (referenze [26] a [30]), a suggerire che un universo potesse essere composto da due universi gemelli, il nostro e un universo gemello, con "tempi opposti". In seguito, suggerì che il ripiego gemello potesse essere enantiomorfo.
- Il significato fisico dell'inversione del tempo cosmico t.
Questa inversione del tempo è sconcertante. Significa che il marcatore temporale t è invertito quando si segue una geodetica, dal ripiego all'altro. Implica forse che l'orologio di un "passeggero", che attraversa questo ponte ipertorico, sarebbe invertito?
In precedenza, abbiamo detto che un "buco nero - fontana bianca" potrebbe esistere, dove il "buco nero" sarebbe situato nel ripiego gemello e la "fontana bianca" nell'altro. Questo significherebbe che questo "passeggero-test" potrebbe immergersi nel primo ponte ipertorico e uscire dal secondo. Potrebbe tornare al suo punto di partenza spaziale e "uccidere suo padre"?
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Fig.16 : Un viaggio (schematizzato) paradossale.
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La risposta è no, poiché il segno dell'incremento elementare ds del suo tempo proprio non cambia lungo la geodetica che segue. Allora, qual è il significato fisico di t? Nessuno. È semplicemente una coordinata. *
Solo il tempo proprio ha un significato fisico. *
Allora, qual è la conseguenza dell'inversione di questa coordinata temporale?
Dobbiamo studiare l'azione coaggiunta del gruppo sul suo spazio di impulso (referenze [11] e [12]). L'elemento del gruppo è (100)
Si tratta di un gruppo a due componenti (m = ±1), di dimensione 4.
La matrice inversa è: (101)
Calcoliamo l'elemento dell'algebra di Lie. Scriviamo: (102)
da = w d e = e
Calcoliamo ora: dg' = g⁻¹ × dg × g (103)
(104)
Per calcolare l'azione coaggiunta (vedere referenza [11]), introduciamo lo scalare: (105)
la cui invarianza è garantita se: (106)
cioè: (107)
L'identificazione fornisce l'azione coaggiunta del gruppo sul suo impulso a quattro componenti: (108)
( l, m )
Ricordiamo che il numero di componenti dell'impulso è uguale alla dimensione del gruppo. (109)
(110)
m' = m m
Possiamo identificare m con la massa (o con l'energia E = mc², indifferentemente). (110) significa che quando una particella attraversa la "sfera del collo", la sua massa è invertita (m' = -m). Non è sorprendente e dà un significato molto fisico a questa "inversione della coordinata temporale". ... Seguendo J.M. Souriau [12], possiamo chiamare la componente (m = +1) del gruppo gli "ortocroni", e la componente (m = -1) gli "anticroni". Gli elementi della componente anticrona invertono la massa. La simmetria temporale è equivalente alla simmetria m, come mostra J.M. Souriau ( [12] p.197, capitolo inversione del tempo e dello spazio).
- Equazioni di campo accoppiate successive.
Siamo partiti da un'unica equazione di campo con membro secondario nullo: (111)
S = 0
che era supposta derivare da un'equazione completa (di Einstein): (112)
S = c T
applicata al vuoto (T = 0). Possiamo supporre che la geometria completa possa essere descritta da due "metriche coniugate" g e g*, da cui possiamo costruire due tensori geometrici di Einstein S e S*. Vedere le referenze [13] a [15].
Se i due semispazi-tempo sono vuoti, la coppia ( g, g*) è soluzione del sistema: (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Una soluzione esatta stazionaria del sistema (113) e (114) è data nella referenza [16]). Ora possiamo riempire il primo ripiego dello spazio-tempo con massa positiva (energia e pressione positive), corrispondente a un campo tensoriale T, e il secondo con massa negativa (energia negativa), e supponiamo che il campo dipenda da entrambi i campi tensoriali, seguendo il seguente formalismo: (115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T* - T )
che corrisponde a geometrie coniugate: (117)
S* = - S
Notare che questo non significa assolutamente che g* = - g!
I tensori T e T* possono essere rappresentati da densità di massa ρ e ρ* e pressioni p e p*.
Qui supponiamo che ρ, ρ*, p e p* siano tutti positivi, per mostrare che "è lo stesso tipo di materia". Il segno meno indica che la "materia gemella" si comporta come una massa negativa (e un'energia e una pressione negative). Questo sistema di equazioni di campo è stato presentato e studiato in articoli precedenti (referenze [13] a [15]).
- Un progetto: il modello di trasferimento iperspaziale.
Negli articoli citati, sono state presentate soluzioni stazionarie accoppiate [16] e soluzioni uniformi non stazionarie ([14], [15] e [17]). Intendiamo costruire soluzioni non stazionarie e non uniformi del sistema (115) più (116). Ad esempio, consideriamo condizioni iniziali in cui la materia è presente nel nostro ripiego dello spazio-tempo F, il secondo ripiego F* essendo vuoto. Il sistema corrispondente sarebbe: (118)
S = c T (119)
S* = - c T
...Una soluzione stazionaria di questo sistema è stata presentata in un articolo precedente [16]. In queste condizioni, la materia è presente solo nel ripiego F. Potrebbe descrivere le geometrie coniugate corrispondenti alla presenza di una stella di neutroni in questo ripiego, il nostro, la porzione adiacente del secondo (gemello) ripiego F* essendo vuota. Inizialmente, i due ripiegamenti non sono connessi. La soluzione, al di fuori della stella di neutroni, obbedisce a: (120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Poi viene versata della materia nella stella di neutroni, fino a raggiungere la criticità. Gli esperti sanno che il primo sintomo di criticità è l'aumento improvviso della pressione fino all'infinito al centro della stella di neutroni (supposta sfericamente simmetrica), secondo il modello di Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) (ref. [1], equazione 144.22). Pensiamo che questo aumento agisca sui valori locali delle costanti della fisica (velocità della luce, costante gravitazionale, massa). Modelli con "costanti variabili" sono stati inizialmente introdotti dagli autori ([18], [19], [20], e [14]). Successivamente, altri autori hanno sviluppato questo nuovo concetto, in modo un po' diverso [17].
...Pensiamo che questo causerebbe la nascita di un ponte ipertoroidale che collega i due ripiegamenti. Poi la materia fluirebbe (rapidamente, a velocità relativistica) dal ripiego F al ripiego F*, attraverso questo passaggio. Come indicato sopra, questo fenomeno inverte la massa, vedere la sezione 14, equazione (110), quindi la soluzione non stazionaria dipende dal sistema: (122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T* - T )
A "metà del percorso", T = T*. Allora la soluzione obbedisce a: (124)
S = 0
(125)
S* = 0
...Pensiamo che sia il vero significato della geometria di Schwarzschild. Corrisponderebbe a un framework che appartiene a un processo non stazionario.
...Questa soluzione non stazionaria è solo un progetto di soluzione. Non è ancora costruita. Non sappiamo cosa ne deriverebbe, né come apparirebbe il processo completo.